知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知a_n=2n，f（n）=
a1+1
a1
×
a2+1
a2
×…×
an+1
an
，g（n）=
n+1
（n∈N^*）．
（1）当n=1，2，3时，试比较f（n）与g（n）的大小关系；
（2）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并给出证明．

难度：中等

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2．各项均为正数的数列{a_n}中，S_n是数列{a_n}的前n项和，对任意n∈N^*，有2S_n=2a_n²+a_n-1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记b_n=2ⁿ•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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3．已知数列{a_n}各项均为正数，且a₁=1，a_n+1²-a_n+1=a_n²+a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=
1
a
2
n
，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜2．

难度：中等

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4．已知数列{a_n}是首项和公差相等的等差数列，其前n项和为S_n，且S₁₀=55．
（Ⅰ）求a_n和S_n；
（Ⅱ）设bn=
1
Sn
，数列{b_n}的前项和T_n，求T_n的取值范围．

难度：中等

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5．已知函数f（x）=2x+1，数列{a_n}满足a_n=f（n）（n∈N^*），数列{b_n}的前n项和为T_n，且b₁=2，T_n=b_n+1-2（n∈N）．
（1）分别求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）定义x=[x]+（x），[x]为实数x的整数部分，（x）为小数部分，且0≤（x）＜1．记c_n=(
an
bn
)，求数列{c_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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6．（1）求和：S_n=1
1
2
+2
1
4
+3
1
8
+…+(n+
1
2n
)．
（2）a_n=
1
n(n+2)
，n∈N+，求此数列的前n项和S_n．

难度：中等

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7．已知{a_n}是公差不为零的等差数列，a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项；
（Ⅱ）求证：
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
＜1．

难度：中等

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8．已知数列{a_n}的前项和为S_n，且满足2S_n=1-2a_n
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足b_n=n•a_n，求证：数列{b_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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9．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，对于任意n∈N^*都有S_n+1-3S_n-1=0．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若（b_n-n）•a_n=n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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10．已知数列{an}的前n项和S_n满足关系式：
S_n=（
1+an
2
）²且a_n＞0．
（1）写出S_n与S_n-1（n≥2）的递推关系式，并求出S_n关于n的表达式；
（2）若b_n=（-1）ⁿ•S_n（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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