知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设n∈N^*，圆C_n：（x-
1
n
）²+（y-1）²=
4n+1-1
4n+1+2
的面积为S_n，则
lim
n→∞
S_n= ．

难度：中等

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2．已知等差数列{a_n}，公差d＞0，前n项和为S_n，且满足a₂a₃=45，a₁+a₄=14．
（1）求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（2）设bn=
Sn
n-
1
2
，
①求证{b_n}是等差数列．
②求数列{
1
bn•bn+1
}的前n项和T_n．
③求
lim
n→∞
Tn．

难度：中等

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3．若数列{a_n}为无穷等比数列，且
lim
n→∞
（a₁+a₂+a₃+…+a_n）=
1
7
，则a₁的取值范围是．

难度：中等

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4．

lim

n→∞

n•3n

n(x-2)n+n•3n+1-3n

则实数x的取值范围是（　　）

A．[-1，5]

B．（-1，5）

C．[-1，5]

D．（-5，5）

难度：中等

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5．数列{a_n}中，a₁=sinθ，a_n+1=a_n•cosθ（n∈N^*，sinθ，cosθ≠0），若
lim
n→∞
（a₁+a₂+…+a_n）=
3
，求θ

难度：中等

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6．设u_n=1+
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
，证明数列{u_n}的极限存在．

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7．对于整数p₁，p₂，…，p_n（n∈N^*），我们称
n
1
p1
+
1
p2
+…+
1
pn
为他们的调和平均数，已知数列{a_n}的通项公式为a_n=
n(n+1)
2n+1
，且数列的第n项a_n是数列{b_n}中的前n项的调和平均数．
（1）试求数列{b_n}的通项公式；
（2）计算
lim
x-∞
an2
bn
；
（3）求出数列{
an2
bn
}中数值最大的项和数值最小的项．

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8．计算：
lim
n→∞
（
1
1×3
+
1
2×4
+
1
3×5
+…+
1
n(n+2)
）

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9．用函数极限的定义证明下列极限：
（1）
lim
x→3
x²=9；
（2）
lim
x→1
x3-1
x2-1
=
3
2
；
（3）
lim
x→0
1-2x2
1+x2
=1；
（4）
lim
x→∞
3x2+x
x2+1
=3；
（5）
lim
x→0
1
x2+x
=∞；
（6）
lim
x→x0
x
=
x0
．

难度：中等

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10．已知数列{a_n}，a_n=（
3
2
）^n-1（cos
n-1
4
π+isin
n-1
4
π），n∈N^*．
（1）数列{a_n}是否成等比数列？请说明理由；
（2）若{a_n}的各项与复平面内的点对应，试问，能否找到这样一项，使得这一项以后的所有项在复平面内对应的点都在圆x²+y²=
9
16
的内部？若能，求出此项，若不能，请说明理由；
（3）将数列{a_n}中的实数项按原顺序排成新数列{b_n}，其前n项和为S_n，求
lim
n→∞
S_n的值．

难度：中等

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