知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2015•闸北区二模）观察下表：设第n行的各数之和为S_n，则
lim
n→∞
Sn
n2
= ．

难度：中等

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2．已知对任意n∈N^*，向量
dn
=(an+1-
1
4
an ，
a
2
n+1
an
)都是直线y=x的方向向量，设数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=1，则
lim
n→∞
Sn= ．

难度：中等

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3．已知等比数列{a_n}满足a₂=2，a₃=1，则
lim
n→+∞
(a1a2+a2a3+…+anan+1)= ．

难度：中等

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4．矩阵
1 a12 … a1i … a1n
2 a22 … a2i … a2n
3 a32 … a3i … a3n
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
n an2 … ani … ann
中每一行都构成公比为2的等比数列，第i列各元素之和为S_i，则
lim
n→∞
Sn
n2•2n
= ．

难度：中等

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5．设a_n=
2n-1，1≤n≤2，n∈N
1
3n
，n≥3，n∈N
数列{a_n}的前n项和S_n，则
lim
n→∞
S_n= ．

难度：中等

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6．对于|q|＜1（q为公比）的无穷等比数列{a_n}（即项数是无穷项），我们定义
lim
n→∞
S_n（其中S_n是数列{a_n}的前n项的和）为它的各项的和，记为S，即S=
lim
n→∞
S_n=
a1
1-q
，则循环小数0.
•
7
•
2
的分数形式是．

难度：中等

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7．已知数列{a_n}、{b_n}与函数f（x）、g（x），x∈R满足条件：a_n=b_n，f（b_n）=g（b_n+1），（n∈N^*）．
（1）若f（x）≥tx+1，t≠0，t≠2，g（x）=2x，f（b）≠g（b），
lim
n→∞
a_n存在，求x的取值范围；
（2）若函数y=f（x）为R上的增函数，g（x）=f^-1（x），b=1，f（1）＜1，证明：对任意n∈N^*，a_n+1＜a_n（用t表示）．

难度：中等

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8．已知一个数列{a_n}的各项是1或3，首项是1，且在第k个1和第k+1个1之间有2k-1个3，即1，3，1，3，3，3，1，3，3，3，3，3，1，…，记数列的前n项的和为S_n．
（1）试问第12个1为该数列的第几项？
（2）若S_m=2000，试求m的值；
（3）设有定理：若数列{a_n}、{b_n}、{c_n}满足a_n≤b_n≤c_n（n∈N^*），且
lim
n→∞
a_n=
lim
n→∞
c_n=A，则
lim
n→∞
b_n=A，由上述定理判断
lim
n→∞
Sn
n
是否存在？如果存在，求出该极限的值；如果不存在，请说明理由．

难度：中等

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9．在平面直角坐标系xOy中，点A（1，
2
16
），P_n（1-
1
2n
，0）（n∈N^*）．记直线AP_n的倾斜角为α_n，∠P_nAP_n+1=θ_n，△P_nAP_n+1的面积为S_n，求：
（1）α₄（用反三角函数值表示）；
（2）S_n及则
lim
n→∞
（S₁+S₂+…+S_n）；
（3）θ_n的最大值及相应n的值．

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10．
∞
n=1
1
(n+1)(n+2)(n+3)
．

难度：中等

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