知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．对于一组向量
a1
，
a2
，
a3
，…，
an
（n∈N^*），令
Sn
=
a1
+
a2
+
a3
+…+
an
，如果存在
ap
（p∈{1，2，3…，n}），使得|
aP
|≥|
Sn
-
aP
|，那么称
ap
是该向量组的“h向量”；
（1）设
an
=（n，n+x）（n∈N^*），若
a3
是向量组
a1
，
a2
，
a3
的“h向量”，求x的范围；
（2）若
an
=((
1
3
)n-1，(-1)n)（n∈N^*），向量组
a1
，
a2
，
a3
，…，
an
（n∈N^*）是否存在“h向量”？
给出你的结论并说明理由．

难度：中等

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2．已知点列A_n{n，a_n}、B_n{n，b_n}、C_n{n-1，0}，a₁=b₁=1，
BnBn+1
=（1，2），
AnAn+1
∥
BnCn

（Ⅰ）求证数列{b_n}为等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式．

难度：中等

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3．已知{a_n}，{b_n} 均为等差数列，前n项和分别为S_n，T_n．
（1）若平面内三个不共线向量
OA
，
OB
，
OC
满足
OC
=a₃
OA
+a₁₅
OB
，且A，B，C三点共线．是否存在正整数n，使S_n为定值？若存在，请求出此定值；若不存在，请说明理由；
（2）若对 n∈N⁺，有
Sn
Tn
=
31n+101
n+3
，求使
an
bn
为整数的正整数n的集合．

难度：中等

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4．已知非零向量列{
an
}满足：
a1
=（x₁，y₁），
an
=（x_n，y_n）=
1
2
（x_n-1-y_n-1，x_n+1+y_n+1）（n≥2，n∈N^*），
（1）证明：数列{|
an
|}是等比数列；
（2）向量
an-1
与
an
的夹角；
（3）设
a1
=（1，2），将
a1
，
a2
，
a3
…
an
，…中所有与
a1
共线的向量按原来的顺序排成一列，记作
b1
，
b2
，
b3
…
bn
，…，令
OBn
=
b1
+
b2
+
b3
+…+
bn
，O为坐标原点，求点B_n的坐标．

难度：中等

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5．在数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，记
AnAn+1
=（a_n，a_n+1）（n∈N^*），且
A1A2
∥
AnAn+1
对任意n∈N^*恒成立．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在等差数列{b_n}，使得a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（2n-3）2ⁿ+3对任意n∈N^*都成立？若存在，求出数列{b_n}的通项公式；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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6．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，其中a₁=1．已知向量
a
=（2，a_n），
b
=（n+1，S_n）（n∈N^*），且存在常数λ，使
a
=λ
b
．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹（n∈N^*），求数列{a_n+b_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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7．已知数列{a_n}是公差不为零的等差数列，S_n为其前n项和．等比数列{b_n}的前三项分别为a₂，a₅，a₁₁．
（1）求数列{b_n}的公比q；
（2）若a₁=1，
OQn
=（
an
n
，
Sn
n2
）（n∈N^*），求|
OQn
|的最大值．

难度：中等

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8．设函数f（x）=x²，过点C₁（1，0）作x轴的垂线l₁交函数f（x）图象于点A₁，以A₁为切点作函数f（x）图象的切线交x轴于点C₂，再过C₂作x轴的垂线l₂交函数f（x）图象于点A₂，…，以此类推得点A_n，记A_n的横坐标为a_n，n∈N^*．
（1）证明数列{a_n}为等比数列并求出通项公式；
（2）设直线l_n与函数g（x）=log
1
2
x的图象相交于点B_n，记b_n=
OAn
•
OBn
（其中O为坐标原点），求数列{b_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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9．已知向量
a
=（2ⁿ，a_n），
b
=（a_n+1，2ⁿ⁺¹），（n∈N^*），且a₁=1，若
a
与
b
共线．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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10．已知数列{a_n}，
x
=（a_n+1，-2），
y
=（1，a_n），且
x
⊥
y
，a₃+2是a₂与a₄的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若满足b_n=13+2log
1
2
a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n的最大值．

难度：中等

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