知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设向量
a
=（2cosx，1），向量
b
=(
3
cosx， sin2x-
3
)，函数f（x）=
a
•
b
．
（Ⅰ）若α∈(
π
2
， π)，且sinα=
5
13
，求f(
α
2
)的值；
（Ⅱ）已知△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2
3
，b=3
2
，f（A）=1，求c．

难度：中等

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2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
AB
•
AC
=
BA
•
BC
，sinA=
5
3
．
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）设D为AC的中点，S_△ABC=8
5
，求中线BD的长．

难度：中等

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3．已知点F（1，0），点P为平面内的动点，过点P作直线l：x=-1的垂线，垂足为Q，且
QP
•
QF
=
FP
•
FQ
．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设点P的轨迹C与x轴交于点M，点A，B是轨迹C上异于点M的不同的两点，且满足
MA
•
AB
=0，求|
MB
|的最小值．

难度：中等

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4．已知向量
a
，
b
的夹角为
π
3
，|
a
-
b
|=6，向量
c
-
a
，
c
-
b
的夹角为
2π
3
，|
c
-
a
|=2
3
，则
a
与
c
的夹角为，
a
•
c
的最大值为．

难度：中等

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5．已知点P，Q是抛物线y²=4x上两点，且
OP
•
OQ
=0（点O为坐标原点），则直线PQ过定点．

难度：中等

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6．已知△OAB的顶点坐标为O（0，0），A（2，1），B（4，-3），且
AP
=λ
PB
，点Q是直线OB上一点．
（1）若λ=1，且
PQ
•
OP
=0，求点Q的坐标；
（2）如已知点M（3，2），向量
OP
与
OM
夹角为锐角，求λ的取值范围．

难度：中等

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7．已知向量
a
=（sinθ，cosθ）（θ∈R），
b
=（1，
3
）．
（1）当θ为何值时，向量
a
+
b
，
b
不能作为平面向量的一组基底；
（2）求
a
+
b
在
b
上的投影的最大值；
（3）求|
a
-2
b
|的取值范围．

难度：中等

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8．己知点A（1，0），B（0，1），C（2sin（θ-
π
4
），cos（θ-
π
4
）），且|
AC
|=|
BC
|．
（1）求tan（θ-
π
4
）的值；
（2）若θ-
π
4
∈[0，
π
2
]，求cosθ的值．

难度：中等

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9．已知向量
m
=（1，1），向量
m
，
n
的夹角为
3π
4
，且
m
•
n
=-1．
（1）求向量
n
；
（2）若向量
n
与向量
q
=（1，0）垂直，向量t
m
+k
n
与向量2
m
-t²
n
平行，试求
k+t2
t
的最大值．

难度：中等

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10．设向量
a
=（4cosα，sinα），
b
=（sinβ，4cosβ），
c
=（cosβ，-4sinβ）
（]）若
a
与
b
-2
c
垂直，求tan（α+β）的值；
（2）求|
b
+
c
|的最大值；
（3）若tanαtanβ=16，求证：
a
∥
b
．

难度：中等

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