知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．若2+i（i虚数单位）是实系数一元二次方程x²+px+q=0的根，则p+q= ．

难度：中等

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2．已知复数z₁=2sinθ-
3
i，z₂=1+（2cosθ）i，i为虚数单位，θ∈[
π
3
，
π
2
]．
（1）若z₁•z₂为实数，求sec2θ的值；
（2）若复数z₁，z₂对应的向量分别是
a
，
b
，存在θ使等式（λ
a
-
b
）•（
a
-λ
b
）=0成立，求实数λ的取值范围．

难度：中等

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3．已知复数z满足z+2i、
z
2-i
均为实数，且复数（z+xi）²在复平面上对应的点在第一象限．
（1）求复数z；
（2）求实数x的取值范围．

难度：中等

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4．实系数一元二次方程x²+ax+b=0有一个虚数根的模为2，则a的取值范围是．

难度：中等

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5．
(-1+
3
i)3
(1+i)6
+
-2+i
1+2i
的值是．

难度：中等

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6．计算：
（1）
(1+2i)2+3(1-i)
2+i
；
（2）
1-
3
i
(
3
+i)2
．

难度：中等

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7．设i为虚数单位，若
a+2i
b-i
=i²⁰¹⁵（a，b∈R），则复数a+b= ．

难度：中等

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8．已知复数z₁≠-1，且
z1-1
z1+1
=bi（b∈R，b≠0），z=
4
(z1+1)2
，复数z在复平面内所对应的点为P．
（1）若点P在第二象限，求实数b的取值范围；
（2）求点P所形成的曲线方程．

难度：中等

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9．已知：z=1+
3
i，求X=
z2-(1-
3
i)+6
|z|-z
的模．

难度：中等

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10．设1的立方虚根ω=-
1
2
+
3
2
i，ϖ=-
1
2
-
3
2
i．
（1）试求ω¹，ω²，ω³，ω⁴，ω⁵，ω⁶，由此推断ωⁿ（n∈N^*）规律，并把这个规律用式子表示出来．
（2）在等比数列{ω_n}中，若ω₁=1，ω₂=-
1
2
+
3
2
i，根据（1）的规律计算：ω₁+ω₂+…+ω₁₂的值；
（3）已知n∈N^*，f（n）=（-
1
2
+
3
2
i）ⁿ+（-
1
2
-
3
2
i）ⁿ，试化解集合A={f（n）}．

难度：中等

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