知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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1．将五个1，五个2，五个3，五个4，五个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过2．考察每行中五个数之和，记这五个和的最小值为m，则m的最大值为（　　）

A．8

B．9

C．10

D．11

难度：中等

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2．下面给出了四个类比推理：
（1）由“若a，b，c∈R则（ab）c=a（bc）”类比推出“若a，b，c为三个向量则（ $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ • $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ ）• $%20%5Coverrightarrow%20%7Bc%7D$ = $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ •（ $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ • $%20%5Coverrightarrow%20%7Bc%7D$ ）”；
（2）“a，b为实数，若a²+b²=0则a=b=0”类比推出“z₁，z₂为复数，若 $%20z_%7B%201%20%7D%5E%7B%202%20%7D%2B%20z_%7B%202%20%7D%5E%7B%202%20%7D%3D0%5Ctext%7B%E5%88%99%7Dz_%7B1%7D%3Dz_%7B2%7D%3D0$ ”；
（3）“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比推出“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；
（4）“在平面内，过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆”类比推出“在空间中，过不在同一个平面上的四个点有且只有一个球”．
上述四个推理中，结论正确的个数有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

难度：中等

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3．设A_2n=（a₁，a₂，…，a_2n）是由2n个实数组成的有序数组，满足下列条件：①a_i∈{1，-1}，i=1，2，…，2n；②a₁+a₂+…+a_2n=0；③a₁+a₂+…+a_i≥0，i=1，2，…，2n-1．
（Ⅰ）当n=3时，写出满足题设条件的全部A₆；
（Ⅱ）设n=2k-1，其中k∈N^*，求a₁+a₂+…+a_n的取值集合；
（Ⅲ）给定正整数n，求A_2n的个数．

难度：中等

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4．将正整数1，2，3，4，…，n²（n≥2）任意排成n行n列的数表．对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数a，b（a＞b）的比值 $%20%5Cfrac%20%7Ba%7D%7Bb%7D$ ，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．
（1）当n=2时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；
（2）若a_ij表示某个n行n列数表中第i行第j列的数（1≤i≤n，1≤j≤n），且满足 $a_%7Bij%7D%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Bi%2B%28j-i-1%29n%2Ci%3Cj%7D%7Bi%2B%28n-i%2Bj-1%29n%2Ci%5Cgeq%20j%7D%5Cend%7Bcases%7D$ 请分别写出n=3，4，5时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）；
（3）对于由正整数1，2，3，4，…，n²排成的n行n列的任意数表，若某行（或列）中，存在两个数属于集合{n²-n+1，n²-n+2，…，n²}，记其“特征值”为λ，求证： $%CE%BB%E2%89%A4%20%5Cfrac%20%7Bn%2B1%7D%7Bn%7D$ ．

难度：中等

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5．已知 $f%28x%29%3D%20%5Cfrac%20%7Bax%7D%7Ba%2Bx%7D%28x%E2%89%A0-a%29$ ，且f（2）=1．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若在数列{a_n}中，a₁=1， $a_%7Bn%2B1%7D%3Df%28a_%7Bn%7D%29%EF%BC%8C%28n%E2%88%88N%5E%7B*%7D%29$ ，计算a₂，a₃，a₄，并由此猜想通项公式a_n；
（Ⅲ）证明（Ⅱ）中的猜想．

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6．观察下列等式：
1=1
3+5=8
5+7+9=21
7+9+11+13=40
9+11+13+15+17=65
…
按此规律，第7个等式右边等于 ______ ．

难度：中等

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7．

将n²个正整数1，2，3，…，n²填入n×n方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方．记f（n）为n阶幻方对角线的和，如右表就是一个3阶幻方，可知f（3）=15，则f（4）=（　　）

A．32

B．33

C．34

D．35

难度：中等

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8．定义A*B、B*C、C*D、D*B分别对应下列图形，

那么下面的图形中，可以表示A*D，A*C的分别是（　　）

A．（1）、（2）

B．（2）、（3）

C．（2）、（4）

D．（1）、（4）

难度：中等

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9．若向量 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ = ．

难度：中等

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10．记 $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Ba_%7Bn%7Da_%7Bn-1%7Da_%7Bn-2%7D%5Ccdots%20a_%7B1%7Da_%7B0%7D%7D%7C_%7Bm%7D$ =a₀+a₁×m+…+a_n-1×m^n-1+a_n×mⁿ，其中n≤m，m、n均为正整数，a_k∈{0，1，2，…，m-1}（k=0，1，2，…，n）且a_n≠0；
（1）计算 $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7B2016%7D%7C_%7B7%7D$ = ______ ；
（2）设集合A（m，n）= $%5C%7Bx%7Cx%3D%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Ba_%7Bn%7Da_%7Bn-1%7Da_%7Bn-2%7D%5Ccdots%20a_%7B1%7Da_%7B0%7D%7D%7C_%7Bm%7D%5C%7D$ ，则A（m，n）中所有元素之和为 ______ ．

难度：中等

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