知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．分形几何学是数学家伯努瓦•曼得尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图甲所示的分形规律可得如图乙所示的一个树形图：

已知第三行有白圈5个，黑圈4个，我们采用“坐标”来表示各行中的白圈、黑圈的个数．比如第一行记为（1，0），第二行记为（2，1），第三行记为（5，4），则第四的白圈与黑圈的“坐标”为 ______ ．照此规律，第n行中的白圈、黑圈的“坐标”为 ______ ．

难度：中等

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3．已知边长分别为a，b，c的三角形ABC面积为S，内切圆O的半径为r，连接OA，OB，OC，则三角形OAB，OBC，OAC的面积分别为 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7Dcr%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7Dar%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ br，由S= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7Dcr%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7Dar%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ br得r= $%20%5Cfrac%20%7B2S%7D%7Ba%2Bb%2Bc%7D$ ，类比得四面体的体积为V，四个面的面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄，则内切球的半径R= ______ ．

难度：中等

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4．已知“整数对”按如下规律排成一列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），…，则第60个“整数对”是（　　）

A．（7，5）

B．（5，7）

C．（2，10）

D．（10，1）

难度：中等

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5．如图所示，把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，试求第七个三角形数是 ______ ．

难度：中等

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6．设f（n）=1+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ +…+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bn%7D$ （n∈N^*），计算的f（2）= $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D$ ，f（4）＞2，f（8）＞ $%20%5Cfrac%20%7B5%7D%7B2%7D$ ，f（16）＞3，…，观察上述结果，按照上面规律，可以推测f（2048）＞ ______ ．

难度：中等

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7．已知点M，N是椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%EF%BC%9Eb%EF%BC%9E0%29$ 上的点，直线OM与直线ON的斜率之积为 $%20%5Cfrac%20%7Bb%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ （O为坐标原点），P为平面内任意一点．研究发现：
若 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOP%7D%3D%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D%2B%20%5Coverrightarrow%20%7BON%7D$ ，则点p的轨迹方程为 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =2；
若 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOP%7D$ =2 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D$ $%2B%20%5Coverrightarrow%20%7BON%7D$ ，则点p的轨迹方程为 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =5；
若 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOP%7D$ = $%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D$ +2 $%20%5Coverrightarrow%20%7BON%7D$ ，则点p的轨迹方程为 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =5；
若 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOP%7D$ =3 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D$ + $%20%5Coverrightarrow%20%7BON%7D$ ，则点p的轨迹方程为 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =10；
若 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOP%7D$ = $%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D$ +3 $%20%5Coverrightarrow%20%7BON%7D$ ，则点p的轨迹方程为 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =10；
根据上述研究结果，可归纳出： $%20%5Coverrightarrow%20%7BOP%7D$ =m $%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D$ +n $%20%5Coverrightarrow%20%7BON%7D$ （m，n∈N^*）则点p的轨迹方程为 ______ ．

难度：中等

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8．某种平面分形如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ 的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°；…；依此规律得到n级分形图，则n级分形图中所有线段的长度之和为． ______ ．

难度：中等

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9．对于等差数列{a_n}，有如下一个真命题：“若{a_n}是等差数列，且a₁=0，s、t是互不相等的正整数，则（s-1）a_t-（t-1）a_s=0”．类比此命题，对于等比数列{b_n}，有如下一个真命题：若{b_n}是等比数列，且b₁= ______ ，s、t是互不相等的正整数，则 ______ ．

难度：中等

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10．在f（m，n）中，m，n，f（m，n）∈N^*，且对任何m，n都有：
（Ⅰ）f（1，1）=1，
（Ⅱ）f（m，n+1）=f（m，n）+2，
（Ⅲ）f（m+1，1）=2f（m，1）．
给出下列三个结论：
①f（1，5）=9； ②f（5，1）=16； ③f（5，6）=26．
其中正确的结论个数是（　　）个．

A．3

B．2

C．1

难度：中等

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