知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．考察下列等式：
cos
π
4
+isin
π
4
=a₁+b₁i，
（cos
π
4
+isin
π
4
）²=a₂+b₂i，
（cos
π
4
+isin
π
4
）³=a₃+b₃i，
…
（cos
π
4
+isin
π
4
）ⁿ=a_n+b_ni，
其中i为虚数单位，a_n，b_n（n∈N^*）均为实数，由归纳可得，a₂₀₁₅+b₂₀₁₅的值为．

难度：中等

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3．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a₁=1，第2个五角形数记作a₂=5，第3个五角形数记作a₃=12，第4个五角形数记作a₄=22，…，若按此规律继续下去，得数列{a_n}，则a_n-a_n-1= （n≥2）；对n∈N^*，a_n= ．

难度：中等

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4．观察下列等式：
12
1×3
=
1
3
，
12
1×3
+
22
3×5
=
3
5
，
12
1×3
+
22
3×5
+
32
5×7
=
6
7
，
12
1×3
+
22
3×5
+
32
5×7
+
42
7×9
=
10
9
．
…
根据以上等式，可猜想出第n个等式为．

难度：中等

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5．对于中心在原点，离心率也相同的n个椭圆，其方程分别为：C₁：
x2
a2
+
y2
λ2a2
=1（0＜λ＜1，a＞0），C₂：
x2
λ2a2
+
y2
λ4a2
=1，…，C_n：
x2
λ2(n-1)a2
+
y2
λ2na2
=1，即第i个椭圆的短轴的等于第i+1个椭圆的长轴，则称这n个椭圆为相似椭圆系，并称λ为此相似椭圆系的相似比，若椭圆C₁的方程为
x2
16
+
y2
8
=1，则第3个椭圆C₃的方程为．

难度：中等

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6．晚自习结束后，几位同学在一起讨论问题，小李看到小杨把三角等式cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ错写成了cos（α+β）=cosα-sinβ．爱思考的他给大家提出了以下几个问题：
（1）等式cos（α+β）=cosα-sinβ一定成立吗？请说明理由；
（2）等式cos（α+β）=cosα-sinβ一定不成立吗？请说明理由；
（3）等式cos（α+β）=cosα-sinβ何时成立？请说明理由．
经过一番热烈的讨论后，熄灯前几位同学得出了一致的结论，结束了讨论，现在，请你也来试一试吧!

难度：中等

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7．从拇指开始数到小指，然后折回来接着数，到拇指后再折回去数（折回去数时小拇指与拇指都不重复计数），问第1000根手指是（　　）

A．拇指

B．食指

C．中指

D．小指

难度：中等

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8．对于数列{a_n}，a₁=a+
1
a
（a＞0．，且a≠1），a_n+1=a₁-
1
an
．
（1）求a₂，a₃，a₄，并猜想这个数列的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．

难度：中等

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9．已知数对按如下规律排列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），…，则第58个数对是．

难度：中等

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10．老子《道德经》云“道生一，一生二，二生三，三生万物．”这与裴波那契数列非常吻合，对于裴波那契数列{a_n}，可知
a
2
1
+
a
2
2
=a₂a₃，
a
2
1
+
a
2
2
+
a
2
3
=a₃a₄，…，则
a
2
1
+a
2
2
+a
2
3
+…
+a
2
10
a10
= ．

难度：中等

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