知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α以x轴非负半轴为始边，其终边与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线与射线y=
3
x（x≥0）交于点Q，其中α∈（-
π
2
，
π
2
）．
（Ⅰ）若sinα=
1
3
，求cos∠POQ；
（Ⅱ）求△OPQ面积的最大值．

难度：中等

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2．如图所示，在xOy平面上，点A（1，0），点B在单位圆上．∠AOB=θ（0＜θ＜π）
（1）若点B（-
3
5
，
4
5
），求tan（2θ+
π
4
）的值；
（2）若
OA
+
OB
=
OC
，四边形OACB的面积用S_四表示，求S_四+
OA
•
OC
的取值范围．

难度：中等

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3．已知A（x_A，y_A）是单位圆（圆心为坐标极点O，半径为1）上任一点，将射线OA绕点O逆时针旋转
π
3
到OB交单位圆于点B（x_B，y_B），已知m＞0，若my_A-2y_B的最大值为3，则m= ．

难度：中等

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4．在直角坐标系xOy中，单位圆O与x轴正半轴的交点为A，点P，Q在单位圆上，且满足∠AOP=
π
6
， ∠AOQ=α， α∈[0，π)．
（1）若cosα=
3
5
，求cos(α-
π
6
)的值；
（2）设函数f（α）=
OP
•
OQ
，求f（α）的值域．

难度：中等

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5．（1）已知cos（
π
6
-α）=
3
3
，求cos（
5π
6
+α）-sin²（α-
π
6
）的值．
（2）如图，在平面直角坐标系xoy中，以x轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点．已知A，B的横坐标分别为
5
5
，
7
2
10
．求tanα，tanβ的值．

难度：中等

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6．如图，以Ox为始边分别作角α与β（0＜α＜β＜π），它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为（
3
5
，
4
5
）．
（1）求sin2α的值；
（2）若β-α=
π
2
，求cos（α+β）的值．

难度：中等

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7．如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP=θ（0＜θ＜π），C点坐标为（-2，0），平行四边形OAQP的面积为S．
（1）求
OA
•
OQ
+S的最大值；
（2）若CB∥OP，求sin（2θ-
π
6
）的值．

难度：中等

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8．函数f（x）=
3
sinωx•cosωx+sin²ωx+k，（ω＞0）．
（1）若f（x）图象中相邻两条对称轴间的距离不小于
π
2
，求ω的取值范围；
（2）若f（x）的最小正周期为π，且当x∈[-
π
6
，
π
6
]时，f（x）的最大值是
1
2
，求f（x）最小值，并说明如何由y=sin2x的图象变换得到y=f（x）的图象．

难度：中等

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9．已知函数f（x）=2
3
sinxcosx-2sin²x．
（Ⅰ）若角α的终边与单位圆交于点P（
3
5
，
4
5
），求f（α）的值；
（Ⅱ）若x∈[-
π
6
，
π
3
]，求f（x）最小正周期和值域．

难度：中等

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10．已知点A（2，0），B（0，2），点C（x，y）在单位圆上．
（1）若|
OA
+
.
OC
|=
7
（O为坐标原点），求
.
OB
与
.
OC
的夹角；
（2）若
.
AC
⊥
.
BC
，求点C的坐标．

难度：中等

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