知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，椭圆E的左右顶点分别为A、B，左右焦点分别为F₁、F₂， $%7CAB%7C%3D4%EF%BC%8C%7CF_%7B1%7DF_%7B2%7D%7C%3D2%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）直线y=kx+m（k＞0）交椭圆于C、D两点，与线段F₁F₂及椭圆短轴分别交于M、N两点（M、N不重合），且|CN|=|DM|．求k的值；
（3）在（2）的条件下，若m＞0，设直线AD、BC的斜率分别为k₁、k₂，求 $%20%5Cfrac%20%7Bk_%7B1%7D%5E%7B2%7D%7D%7Bk_%7B2%7D%5E%7B2%7D%7D$ 的取值范围．

难度：中等

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2．已知椭圆M的对称轴为坐标轴，离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D$ ，且抛物线 $y%5E%7B2%7D%3D4%20%5Csqrt%20%7B2%7Dx$ 的焦点是椭圆M的一个焦点．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆M相交于A、B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆M上，O为坐标原点．求点O到直线l的距离的最小值．

难度：中等

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3．平面直角坐标系xOy中，椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ $%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）的长轴长为2，抛物线E：x²=2y的准线与椭圆C相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l与椭圆C相交于A，B两点且与抛物线E在第一象限相切于点P，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M，求 $%20%5Cfrac%20%7BS_%7B%E2%96%B3PFG%7D%7D%7B%7COG%7C%7D$ 的最小值及此时点P的坐标．

难度：中等

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4．已知椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）的右焦点到直线x-y+3 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ =0的距离为5，且椭圆C的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为 $%20%5Csqrt%20%7B10%7D$ ．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）给出定点Q（ $%20%5Cfrac%20%7B6%20%5Csqrt%20%7B5%7D%7D%7B6%7D$ ，0），对于椭圆C的任意一条过Q的弦AB， $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%7CQA%7C%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%7CQB%7C%5E%7B2%7D%7D$ 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

难度：中等

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5．已知椭圆E： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%EF%BC%9Eb%EF%BC%9E0%29$ 过点P（1， $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D$ ），离心率e= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ，右顶点为A，右焦点为F．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若经过F的直线l（不与x轴重合）交椭圆E与B，C两点，延长BA，CA，分别交右准线于M，N两点．求证：FN⊥FM．

难度：中等

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6．在圆x²+y²=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，点M在线段PD上，且|DP|= $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ |DM|，点P在圆上运动．
（Ⅰ）求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）过定点C（-1，0）的直线与点M的轨迹交于A、B两点，在x轴上是否存在点N，使 $%20%5Coverrightarrow%20%7BNA%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BNB%7D$ 为常数，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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7．某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为（　　）

A．

B．

C．

D．

难度：中等

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8．如图，已知O（0，0），E（-
3
，0），F（
3
，0），圆F：（x-
3
）²+y²=5．动点P满足|PE|+|PF|=4．以P为圆心，|OP|为半径的圆P与圆F的一个公共点为Q．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）证明：点Q到直线PF的距离为定值，并求此值．

难度：中等

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9．已知椭圆c： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B3%7D$ =1（a＞ $%20%5Csqrt%20%7B10%7D$ ）的右焦点F在圆D：（x-2）²+y²=1上，直线l：x=my+3（m≠0交椭圆于M、N两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D%E2%8A%A5%20%5Coverrightarrow%20%7BON%7D$ （O为坐标原点），求m的值；
（Ⅲ）设点N关于x轴的对称点为N₁（N₁与点M不重合），且直线N₁M与x轴交于点P，试问△PMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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10．下列命题中正确的是．
①如果幂函数y=(m2-3m+3)xm2-m-2的图象不过原点，则m=1或m=2；
②定义域为R的函数一定可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和；
③已知直线a、b、c两两异面，则与a、b、c同时相交的直线有无数条；
④方程
y-3
x-2
=
y-1
x+3
表示经过点A（2，3）、B（-3，1）的直线；
⑤方程
x2
2+m
-
y2
m+1
=1表示的曲线不可能是椭圆．

难度：中等

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