知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知抛物线y²=2px的焦点F与双曲线
x2
7
-
y2
9
=1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的焦点为K，点A在抛物线上，且|AK|=
2
|AF|，则△AFK的面积为．

难度：中等

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2．已知双曲线x²-y²=2013的左、右顶点分别为M、N，点P是双曲线上异于M、N的任意一点．
（1）记直线PM、PN的斜率分别为k_PM、k_PN，求证：k_PM•k_PN为定值；
（2）若点P是双曲线上位于第一象限的点，且∠PNM=7∠PMN，求∠MPN．
（3）类比到椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，M、N为其左、右顶点，点P是椭圆上异于M、N的任意一点．k_PM•k_PN还是定值吗？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由．

难度：中等

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3．已知点M（4，0）、N（1，0），若动点P满足
MN
•
MP
=6|
NP
|．
（1）求动点P的轨迹C；
（2）在曲线C上是否存在点Q，使得△MNQ的面积S△MNQ=
3
2
？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由．

难度：中等

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4．设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A（-5，0），B（5，0），点M是椭圆上异于A，B的动点，且直线AM与MB的斜率之积为-
16
25
；
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若抛物线y²=2px（p＞0）的焦点与椭圆C的右焦点重合，求抛物线上的点到直线l：3x+y+2=0的距离的最小值．

难度：中等

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5．椭圆C₁：
x2
6
+
y2
2
=1，过F₂作直线交抛物线y²=2x于A、B两点，射线OA，OB分别交椭圆C₁于点D、E，证明：
|OD||OE|
|DE|
为定值．

难度：中等

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6．已知椭圆C₁：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）与抛物线C₂：y²=4mx（m＞0）有公共焦点F₂（1，0），且3a²=4b²．
（1）求椭圆和抛物线的方程；
（2）设直线l经过椭圆的左焦点F₁，与抛物线交于不同两点P，Q，且满足
F1P
=λ
F1Q
，求实数λ的取值范围．

难度：中等

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