知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．己知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的正三角形，侧面A₁ACC₁为菱形，∠A₁AC=60°，平面A₁ACC₁⊥平面ABC，N是CC₁的中点．
（I）求证：A₁C⊥BN；
（Ⅱ）求二面角B-A₁N-C的余弦值．

难度：中等

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2．如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．
（Ⅰ）证明：AE⊥PD；
（Ⅱ）设PA=AB=2，求二面角A-EF-D的余弦值．

难度：中等

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3．如图，直三棱柱ABC-A 11C₁中，AC=BC=1，∠ACB=90°，点D为AB的中点．
（1）求证：BC₁∥面A₁DC；
（2）若AA₁=
2
2
，求二面角A₁-CD-B的平面角的大小．

难度：中等

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4．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．
（1）求证：BE∥平面PDF；
（2）求二面角E-AB-D的大小．

难度：中等

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5．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上．
（1）求异面直线D₁E与A₁D所成的角；
（2）若二面角D₁-EC-D的大小为45°，求直线BC₁与面D₁EC所成的角的正切．．

难度：中等

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6．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E、F分别为PC、PD的中点．
（1）求证：DE⊥平面PBC
（2）在棱BC上确定一点G，使得PA∥面EFG，并写出证明过程
（3）在（2）成立的条件下，求二面角F-EG-C的余弦值．

难度：中等

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7．如图，三棱锥P-ABC中，
PA
•
AB
=
PA
•
AC
=
AB
•
AC
=0，
PA
2=
AC
2=4
AB
2，M为棱PC的中点．
（I）求证：PC⊥平面MAB；
（Ⅱ）求二面角C-PB-A的余弦值．

难度：中等

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8．如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF所截而得，AB=2，BD=1，AF=a．
（Ⅰ）当a=4时，求平面DEF与平面ABC的夹角的余弦值；
（Ⅱ）当a为何值时在DE上存在一点P，使CP⊥平面DEF？如果存在，求出DP的长；若不存在，问题补充．

难度：中等

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9．正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，棱AA₁=AB=a，且点D、E分别为棱AA₁、B₁C₁的中点．
（1）求证：A₁E∥面BDC₁；
（2）求二面角C₁-BD-B₁的平面角的正切值．

难度：中等

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10．已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形，PD⊥底面ABCD．
（1）求证：△PAB≌△PCB；
（2）求证：AC⊥PB；
（3）若PD=2
2
，AB=
5
，二面角A-BP-C为120°，求四棱锥P-ABCD的体积．

难度：中等

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