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          共50条信息

            • 1．
              如图，四棱柱\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，\(A_{1}D⊥\)平面\(ABCD\)，底面\(ABCD\)是边长为\(1\)的正方形，侧棱\(AA_{1}=2\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求证：\(C_{1}D/\!/\)平面\(ABB_{1}A_{1}\)；
              \((\)Ⅱ\()\)求直线\(BD_{1}\)与平面\(A_{1}C_{1}D\)所成角的正弦值；
              \((\)Ⅲ\()\)求二面角\(D-A_{1}C_{1}-A\)的余弦值．
              难度：中等
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            • 2．

              如图，在一个\({{60}^{o}}\)的二面角的棱上有两点\(A,B\)，线段\(AC,BD\)分别在这两个面内，且都垂直于棱\(AB\)，\(AB=AC=a\)，\(BD=2a\)，则\(CD\)的长为\((\)    \()\)  

              A．\(2a\)
              B．\(\sqrt{5}a\)
              C．\(a\)
              D．\(\sqrt{3}a\)
              难度：中等
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            • 3． 如图，四棱锥\(P-ABCD\)中，\(PD⊥\)平面\(ABCD\)，底面\(ABCD\)是正方形，\(PD=AB=2\)，\(E\)为\(PC\)中点．
              \((1)\)求证：\(DE⊥\)平面\(PCB\)；
              \((2)\)求点\(C\)到平面\(DEB\)的距离；
              \((3)\)求二面角\(E-BD-P\)的余弦值．
              难度：中等
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            • 4．
              如图，在梯形\(ABCD\)中，\(AB/\!/CD\)，\(AD=DC=CB=1\)，\(∠ABC=60^{\circ}\)，四边形\(ACFE\)为矩形，平面\(ACFE⊥\)平面\(ABCD\)，\(CF=1\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求证：\(BC⊥\)平面\(ACFE\)；
              \((\)Ⅱ\()\)点\(M\)在线段\(EF\)上运动，设平面\(MAB\)与平面\(FCB\)所成二面角的平面角为\(θ(θ\leqslant 90^{\circ})\)，试求\(\cos θ\)的取值范围．
              难度：中等
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            • 5．
              如图甲，直角梯形\(ABCD\)中，\(AB/\!/CD\)，\(∠DAB= \dfrac {π}{2}\)，点\(M\)、\(N\)分别在\(AB\)，\(CD\)上，且\(MN⊥AB\)，\(MC⊥CB\)，\(BC=2\)，\(MB=4\)，现将梯形\(ABCD\)沿\(MN\)折起，使平面\(AMND\)与平面\(MNCB\)垂直\((\)如图乙\()\)．
              \((1)\)求证：\(AB/\!/\)平面\(DNC\)；
              \((2)\)当\(DN\)的长为何值时，二面角\(D-BC-N\)的大小为\(30^{\circ}\)？
              难度：中等
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            • 6．
              等腰直角三角形\(ABC\)中，\(AB=BC=1\)，\(M\)为\(AC\)中点，沿\(BM\)把它折成二面角，折后\(A\)与\(C\)的距离为\(1\)，则二面角\(C-BM-A\)的大小为\((\)　　\()\)
              A．\(30^{\circ}\)
              B．\(60^{\circ}\)
              C．\(90^{\circ}\)
              D．\(120^{\circ}\)
              难度：中等
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            • 7．
              如图，已知矩形\(ABCD\)中，\(AB=2\)，\(AD=1\)，\(M\)为\(DC\)的中点\(.\)将\(\triangle ADM\)沿\(AM\)折起，使得平面\(ADM⊥\)平面\(ABCM\)．
              \((1)\)求证：\(AD⊥BM\)；
              \((2)\)求\(DC\)与平面\(ADM\)所成的角的正弦值；
              \((3)\)若点\(E\)是线段\(DB\)上的一动点，问点\(E\)在何位置时，二面角\(E-AM-D\)的余弦值为\( \dfrac { \sqrt {5}}{5}\)．
              难度：中等
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            • 8．
              如图，四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)为平行四边形，\(AB=2AD=4\)，\(BD=2 \sqrt {3}\)，\(PD⊥\)底面\(ABCD\)．
              \((\)Ⅰ\()\)证明：平面\(PBC⊥\)平面\(PBD\)；
              \((\)Ⅱ\()\)若二面角\(P-BC-D\)大小为\( \dfrac {π}{4}\)，求\(AP\)与平面\(PBC\)所成角的正弦值．
              难度：中等
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            • 9．

              二面角\(α-\) \(l\)\(-β\)等于\(120^{\circ}\)，\(A\)、\(B\)是棱 \(l\)上两点，\(AC\)、\(BD\)分别在半平面\(α\)、\(β\)内，\(AC⊥\) \(l\)，\(BD⊥\) \(l\)，且\(AB=AC=BD=1\)，则\(CD\)的长等于(    )

              ​

              A．\( \sqrt{2} \)    
              B．\( \sqrt{3} \)      
              C．\(2\)      
              D．\( \sqrt{5} \)
              难度：中等
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            • 10．

              如图，菱形\(ABCD\)的对角线\(AC\)与\(BD\)交于点\(O\)，\(AB\)\(=5\)，\(AC\)\(=6\)，点\(E\)，\(F\)分别在\(AD\)，\(CD\)上，\(AE\)\(=\)\(CF\)\(=\dfrac{5}{4}\)，\(EF\)交\(BD\)于点\(H\)\(.\)将\(\triangle \)\(DEF\)沿\(EF\)折到\(\triangle {D}{{'}}EF\)的位置，\(O{D}{{'}}=\sqrt{10}\) ．


              \((\)Ⅰ\()\)证明：\({D}{{'}}H\bot \)平面\(ABCD\)；

              \((\)Ⅱ\()\)求二面角\(B-{D}{{'}}A-C\)的正弦值\(.\)  

              难度：中等
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