知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知A，B，C的坐标分别为（0，1，0），（-1，0，-1），（2，1，1），点P的坐标是（x，0，y），若PA⊥平面ABC，则点P的坐标是．

难度：中等

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2．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=2
2
，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．
（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；
（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．

难度：中等

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3．已知l∥α，且l的方向向量为（2，m，1），平面α的法向量为(1，
1
2
，2)，则m= ．

难度：中等

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4．四棱锥S-ABCD中，已知
AC
=（1，1，1），
AD
=（10，-5，5），
AB
=（-1，2，0），
SA
=（2，1，-3）．
（1）求证：BC∥AD；
（2）四边形ABCD的面积；
（3）求四棱锥S-ABCD的体积，并说明理由．

难度：中等

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5．在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为A₁D₁和CC₁的中点
（1）求证：EF∥平面A₁C₁B；
（2）求异面直线EF与AB所成角的余弦值．

难度：中等

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6．如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，PD=DC=2AD，AD⊥DC，∠BCD=45°．
（1）设PD的中点为M，求证：AM∥平面PBC；
（2）求PA与平面PBC所成角的正弦值．

难度：中等

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7．在四棱锥P-OABC中，PO⊥底面OABC，∠OCB=60°，∠AOC=∠ABC=90°，且OP=OC=BC=2．
（1）若D是PC的中点，求证：BD∥平面AOP；
（2）求二面角P-AB-O的余弦值．

难度：中等

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8．一个多面体的直观图及三视图分别如图1和图2所示（其中正视图和侧视图均为矩形，俯视图是直角三角形），M、N分别是AB₁、A₁C₁的中点，MN⊥AB₁．

（Ⅰ）求实数a的值并证明MN∥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）在上面结论下，求平面AB₁C₁与平面ABC所成锐二面角的余弦值．

难度：中等

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9．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，E是SD的中点，AD=
2
，DC=SD=2．
（1）证明：SB∥平面ACE；
（2）求二面角A-SB-C的余弦值；
（3）设点F在侧棱SC上，∠ABF=60°，求
SF
FC
．

难度：中等

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10．如图，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是边长为1的正方形，ABEF是矩形，且AF=
1
2
，G是线段EF的中点．
（Ⅰ）求证：AG⊥平面BCG；
（Ⅱ）求直线BE与平面ACG所成角的正弦值的大小．

难度：中等

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