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          共50条信息

            • 1． 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AP=AD=AB=
              		2
              ，BC=t，∠PAB=∠PAD=α．
              （Ⅰ）当t=3
              		2
              时，试在棱PA上确定一个点E，使得PC∥平面BDE，并求出此时
              AE
              EP
              的值；
              （Ⅱ）当α=60°时，若平面PAB⊥平面PCD，求此时棱BC的长．
              难度：中等
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            • 2． 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=BC=AB=2，AB⊥BC．M、N分别是AC和BB1的中点．
              （1）求二面角B1-A1C-C1的大小．
              （2）证明：在AB上存在一个点Q，使得平面QMN⊥平面A1B1C，并求出BQ的长度．
              难度：中等
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            • 3． 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2．
              （1）求证：A1C⊥平面BCDE；
              （2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；
              （3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．
              难度：中等
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            • 4． 如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABC折起，使∠BDC=60°．
              （1）求证：平面ADB⊥平面BDC；
              （2）设E为BC的中点，求直线AE一平面ABD所成角的正弦值；
              （3）设BD=1，求点D到面ABC的距离．
              难度：中等
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            • 5． 如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PC⊥AD．底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC．PA=AB=BC，点E在棱PB上，且PE=2EB．
              （1）求证：PD∥平面EAC；
              （2）求二面角A-EC-B的余弦值．
              难度：中等
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            • 6． 如图1，在平面内，ABCD是∠BAD=60°，且AB=a的菱形，ADD′′A1和CD D′C1都是正方形．将两个正方形分别沿AD，CD折起，使D′′与D′重合于点D1．设直线l过点B且垂直于菱形ABCD所在的平面，点E是直线l上的一个动点，且与点D1位于平面ABCD同侧（图2）．
              （Ⅰ） 设二面角E-AC-D1的大小为θ，若
              π
              4
              ≤θ≤
              π
              3
              ，求线段BE长的取值范围；
              （Ⅱ）在线段D1E上存在点P，使平面PA1C1∥平面EAC，求
              D1P
              PE
              与BE之间满足的关系式，并证明：当0＜BE＜a时，恒有
              D1P
              PE
              ＜1．
              难度：中等
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            • 7． 如图，在四棱锥E-ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB=BC=CE=2CD=4，∠BCE=60°．
              （1）证明：平面BAE⊥平面DAE；
              （2）点P为线段AB上一点，求直线PE与平面DCE所成角的取值范围．
              难度：中等
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            • 8． 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=AA1，D为BC的中点．
              （1）证明：A1B∥平面ADC1；
              （2）证明：平面ADC1⊥平面BB1C1C．
              难度：中等
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            • 9． 如图所示，已知△AOB中，∠AOB=
              π
              2
              ，AB=2OB=4，D为AB的中点，若△AOC是△AOB绕直线AO旋转而成的，记二面角B-AO-C的大小为θ．
              （I）若θ=
              π
              2
              ，求证：平面COD⊥平面AOB；
              （II）若θ∈[
              π
              2
              ，
              2π
              3
              ]              时，求二面角C-OD-B的余弦值的最小值．
              难度：中等
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            • 10． 平面α与平面β垂直，平面α与平面β的法向量分别为
              u
              =（-1，0，5），
              v
              =（t，5，1），则t的值为    ．
              难度：中等
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