知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图1所示，在边长为12的正方形AA′A′₁A₁中，点B，C在线段AA′上，且AB=3，BC=4，作BB₁∥AA₁，分别交A₁A₁′、AA₁′于点B₁、P，作CC₁∥AA₁，分别交A₁A₁′、AA₁′于点C₁、Q，将该正方形沿BB₁、CC₁折叠，使得A′A1′与AA₁重合，构成如图2所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁．

（1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，求证：AB⊥平面BCC₁B₁；
（2）求平面APQ将三棱柱ABC-A₁B₁C₁分成上、下两部分几何体的体积之比；
（3）试判断直线AQ是否与平面A₁C₁P平行，并说明理由．

难度：中等

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2．（2015秋•安庆校级期末）在边长是2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为AB，A₁C的中点．应用空间向量方法求解下列问题．
（1）求EF的长
（2）证明：EF∥平面AA₁D₁D；
（3）证明：EF⊥平面A₁CD．

难度：中等

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3．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M，Q分别是BB₁，BC₁中点，点P在线段C₁M上，且
C1P
=x
C1M
，
（1）用向量
AB
，
AC
，
AA1
表示向量
AQ
；
（2）用向量
AB
，
AC
，
AA1
表示向量
AP
；
（3）若AP与平面A₁BC交于N，
AN
=y
AP
，求出y关于x的函数关系式．

难度：中等

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4．如图，△BCD中，AB=BC=1，∠ACB=120°，O为△ABC的外心，PO⊥平面ABC，且PO=
6
2
．
（I）求证：BO∥平面PAC；
（II）若点M为PC上，且PC⊥平面AMB，求二面角A-BM-O的正弦值．

难度：中等

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5．如图，四棱锥S-ABCD中．ABCD为矩形，SD⊥AD，且SD⊥AB，AD=a（a＞0），AB=2AD，SD=
3
AD．E为CD上一点，且CE=3DE．
（1）求证：AE⊥平面SBD；
（2）M、N分别在线段CD、SB上的点，是否存在M、N，使MN⊥CD且MN⊥SB，若存在，确定M、N的位置；若不存在，说明理由．

难度：中等

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6．已知A（1，0，0）、B（0，1，0）、C（0，0，1）三点，

=（1，1，1），则以

为方向向量的直线l与平面ABC的关系是（　　）

A．垂直

B．不垂直

C．平行

D．以上都有可能

难度：中等

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7．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱A₁D₁的中点，H为平面EDB
内一点，
HC1
=（2m，-2m，-m）（m＜0）．
（1）证明HC₁⊥平面EDB；
（2）求BC₁与平面EDB所成的角；
（3）若正方体的棱长为a，求三棱锥A-EDB的体积．

难度：中等

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8．在空间直角坐标系中，已知A（3，0，a），B（0，3，-2），C（1，1，-1），若平面ABC过坐标原点，则a= ．

难度：中等

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9．如图．在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（1）如图1，已知
DA
=
a
，
DC
=
b
，
DD1
=
c
，点G是侧面B₁BCC₁的中心，试用向量
a
，
b
，
c
表示下列向量：
DB1
，
BA1
，
CA1
，
DG
．
（2）如图2，点E，F，G分别是
A1D1
，
D1D
，
D1C1
的中点，请选择恰当的基底向量．证明：①EG∥AC；②平面EFG∥平面AB₁C．

难度：中等

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10．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E，F分别是BB₁，DD₁的中点，求证：
（1）FC₁∥平面ADE；
（2）平面ADE∥平面B₁C₁F．

难度：中等

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