知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2015秋•宜春期末）如图，矩形ABCD所在平面与三角形ECD所在平面相交于CD，AE⊥平面ECD
（1）求证：AB⊥平面ADE；
（2）若点M在线段AE上，AM=2ME，且CD=DE=AE，求平面BCE与平面BDM所成的锐二面角的余弦值．

难度：中等

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2．（2015秋•广州校级期末）如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2
3
．
（1）求点A到平面MBC的距离；
（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．

难度：中等

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3．如图，在四棱锥P-ABCD的底面梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=1，AD=3，∠ADC=45°．又已知PA⊥平面ABCD，PA=1．
求：
（1）异面直线PD与AC所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）
（2）四棱锥P-ABCD的体积．

难度：中等

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4．如图，直三棱柱ABCA₁B₁C₁的底面ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分别是A₁B₁、A₁A的中点．
（1）求
BN
的模；
（2）求异面直线BA₁与CB₁所成角的余弦值；
（3）求证：A₁B⊥C₁M．

难度：中等

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5．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，AB=
2
AD，E是线段PD上的点，F是线段AB上的点，且
PE
ED
=
BF
FA
=λ(λ＞0)．
（Ⅰ）当λ=1时，证明DF⊥平面PAC；
（Ⅱ）是否存在实数λ，使异面直线EF与CD所成的角为60°？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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6．如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA丄底面ABCD，AE丄PD于E，EF∥CD交PC于F，点M在AB上，且AM=EF．
（I）求证MF是异面直线AB与PC的公垂线；
（II）若PA=2AB，求二面角E-AB-D的正弦值．

难度：中等

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7．如图所示，在直角梯形OABC中，∠COA=∠OAB=
π
2
，OA=OS=AB=1，OC=2，点M是棱SB的中点，N是OC上的点，且ON：NC=1：3．
（1）求异面直线MN与BC所成的角；
（2）求MN与面SAB所成的角．

难度：中等

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8．如图，在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=AA₁=1，延长AC至D，使AC=CD，连接BD，B₁D，C₁D．
（1）求证：AC₁⊥B₁D；
（2）求六面体BB₁-A₁ADC₁的体积；
（3）求平面B₁C₁D与平面ABC所成锐二面角的正切值．

难度：中等

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9．已知P是四边形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PD，在四边形ABCD中，BA=AD，BA⊥AD，O是BD的中点，OC=
1
2
OA=
1
3
OP．
（1）求证：PD⊥AC；
（2）求二面角A-PD-C余弦值．

难度：中等

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10．如图，四棱锥A-BCDE的底面BCDE是直角梯形，CE∥BD，∠ECB=90°，AC⊥平面BCDE，CE=CB=CA=2，BD=1．
（Ⅰ）求直线CA与平面ADE所成角的正弦值；
（Ⅱ）在线段ED上是否存在一点F，使得异面直线CF与AB所成角余弦值等
26
13
？若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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