知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁为矩形，AB=1，AA₁=
2
，D为AA₁的中点，BD与AB₁交于点O，CO⊥侧面ABB₁A₁．
（Ⅰ）证明：BC⊥AB₁；
（Ⅱ）若OC=OA，求直线C₁D与平面ABC所成角的正弦值．

难度：中等

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2．已知四边形ABCD是菱形，其对角线AC=4，BD=2，直线AE，CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=4．
（1）求证：平面EBD⊥平面FBD；
（2）求直线AB与平面EAD所成角的正弦值；
（3）求四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积．

难度：中等

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3．三棱柱ABC-A₁B₁C₁，平面A₁ABB₁⊥平面ABC，AA₁=AB=2，∠A₁AB=60°，AC=BC=
2
．O，E分别是AB，CC₁中点．
（Ⅰ）求证：OE∥平面A₁C₁B；
（Ⅱ）求直线BC₁与平面ABB₁A₁所成角的大小．

难度：中等

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4．在五边形ABCDE中（图一），BD是AC的垂直平分线，O为垂足．ED∥AC，AE∥BD，AB⊥BC，P为AB的中点．沿对角线AC将四边形ACDE折起，使平面ACDE⊥平面ABC（图二）．
（1）求证：PE∥平面DBC；
（2）当AB=
2
AE时，求直线DA与平面DBC所成角的正弦值．

难度：中等

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5．如图四棱锥P-ABCD的底面是一等腰梯形，其中AD∥BC，其中AD=3BC=6，AB=DC=2
2
，又平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD=5，点O是线段AD的中点，经过直线OB且与直线PA平行的平面OBM与直线PC相交于点M．
（1）确定实数t，使得
PM
=t
MC
；
（2）求平面PAD与平面OBM夹角的余弦值．

难度：中等

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6．如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，底面ABCD是菱形，∠ADC=60°，点P在底面ABCD上的射影为△ACD的重心，点M为线段PB上的点．
（1）当点M为PB的中点时，求证：PD∥平面ACM；
（2）当平面CDM与平面CBM夹角的余弦值为
2
3
时，试确定点M的位置．

难度：中等

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7．如图①，四边形ABCD为等腰梯形，AE⊥DC，AB=AE=
1
3
DC，F为EC的中点，现将△DAE沿AE翻折到△PAE的位置，如图②，且平面PAE⊥平面ABCE．

（Ⅰ）求证：平面PAF⊥平面PBE；
（Ⅱ）求直线PF与平面PBC所成角的正弦值．

难度：中等

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8．如图，在四棱锥E-ABCD中，EA⊥平面ABCD，AB∥CD，AD=BC=
1
2
AB，∠ABC=
π
3
．
（Ⅰ）求证：△BCE为直角三角形；
（Ⅱ）若AE=AB，求CE与平面ADE所成角的正弦值．

难度：中等

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9．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是C₁C的中点，则直线BE与平面B₁BD所成的角的正弦值为（　　）

A．-

B．

C．-

D．

难度：中等

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10．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA=AB=BC=
1
2
DC，点E在棱PB上，且
PE
=λ
EB
．
（1）当λ=2时，求证：PD∥面EAC；
（2）若直线PA与平面EAC所成角为30°，求实数λ的值．

难度：中等

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