知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016春•连云港期中）如图所示，已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=4，E是棱CC₁上的点，且BE⊥B₁C．
（1）求CE的长；
（2）求证：A₁C⊥平面BED；
（3）求A₁B与平面BDE夹角的正弦值．

难度：中等

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2．（2016春•淄博校级期中）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，AB=AC=1，∠BAC=90，点D是棱B₁C₁的中点．
（1）求证：AB₁∥平面A₁DC；
（2）求证：A₁D⊥平面BB₁C₁C．

难度：中等

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3．在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，AB=AD=
2
，AB⊥BC，如图把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD
（1）求证：CD⊥平面ABD；
（2）若M为线段BC中点，求三棱锥M-ACD的体积．

难度：中等

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4．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA₁=4，A₁在底面ABC的射影为BC的中点E，D是B₁C₁的中点．
（1）证明：A₁D⊥平面A₁BC；
（2）求点B到平面A₁ACC₁的距离．

难度：中等

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5．如图1所示，在边长为12的正方形AA′A′₁A₁中，点B，C在线段AA′上，且AB=3，BC=4，作BB₁∥AA₁，分别交A₁A₁′、AA₁′于点B₁、P，作CC₁∥AA₁，分别交A₁A₁′、AA₁′于点C₁、Q，将该正方形沿BB₁、CC₁折叠，使得A′A1′与AA₁重合，构成如图2所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁．

（1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，求证：AB⊥平面BCC₁B₁；
（2）求平面APQ将三棱柱ABC-A₁B₁C₁分成上、下两部分几何体的体积之比；
（3）试判断直线AQ是否与平面A₁C₁P平行，并说明理由．

难度：中等

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6．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E、F分别为PC、PD的中点．
（1）求证：DE⊥平面PBC
（2）在棱BC上确定一点G，使得PA∥面EFG，并写出证明过程
（3）在（2）成立的条件下，求二面角F-EG-C的余弦值．

难度：中等

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7．如图，三棱锥P-ABC中，
PA
•
AB
=
PA
•
AC
=
AB
•
AC
=0，
PA
2=
AC
2=4
AB
2，M为棱PC的中点．
（I）求证：PC⊥平面MAB；
（Ⅱ）求二面角C-PB-A的余弦值．

难度：中等

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8．如图，棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，点M是线段PD的中点．点N在线段PD上，且
PN
=
3
4
PD
．
（1）求证：AM⊥平面PCD；
（2）求直线BD与平面PCD所成角的正弦值的大小；
（3）求cos＜
AN
，
BD
＞．

难度：中等

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9．已知四棱锥P-ABCD的三视图和直观图如图：
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）若E是侧棱PC上的动点，是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论．
（3）若F是侧棱PA上的动点，证明：不论点F在何位置，都不可能有BF⊥平面PAD．

难度：中等

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10．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求证：
（1）求AC与A₁D所成角的大小；
（2）平面AB₁D₁∥平面BDC₁．
（3）A₁C⊥平面BDC₁．

难度：中等

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