知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．选修4-2：矩阵与变换
已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量
e1
=
1
1
，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（3，0），求矩阵M．

难度：中等

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2．二阶矩阵M有特征值λ=8，其对应的一个特征向量
e
=
1
1
，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成点（-2，4），求矩阵M²．

难度：中等

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3．已知二阶矩阵A属于特征值-1的一个特征向量为
-1

3
，属于特征值7的一个特征向量为
1

1
．
①求矩阵A；
②求解方程A
x
y
=
7
14
．

难度：中等

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4．已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量
e1
=
.
1
1
.
，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（9，15）．
（Ⅰ）求矩阵M．
（Ⅱ）求M的另一个特征值和其所对应的一个特征向量．

难度：中等

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5．已知矩阵A=
1 a
2 3
的一个特征值是-1，求矩阵A的另一个特征值λ，及属于λ的一个特征向量．

难度：中等

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6．选修4-2；矩阵与变换
已知矩阵A=
.
1 2
-1 4
.
，向量a=
.
4
7
.

（I）求矩阵A的特征值λ₁、λ₂和特征向量a₁、a₂；
（Ⅱ）求A⁵α的值．

难度：中等

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7．知a∈R，矩阵A=
1 2
a a
对应的线性变换把点P（1，1）变成点P′（3，3），求矩阵A的特征值以及属于没个特征值的一个特征向量．

难度：中等

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8．已知矩阵A=[
x 3
2 y
]，α=[
4
-1
]，且Aα=[
9
4
]．
（1）求实数x，y的值；
（2）求A的特征值λ₁，λ₂（λ₁＞λ₂）及对应的特征向量
α1
，
α2
；
（3）计算A²⁰α．

难度：中等

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9．选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵M=
1 x
2 1
的一个特征值为-1，求其另一个特征值．

难度：中等

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10．给定矩阵A=
1 2
-1 4
，B=
5
3
．
（1）求A的特征值λ₁，λ₂及对应特征向量α₁，α₂；
（2）求A⁴B．

难度：中等

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