知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知矩阵A=
3 3
2 4
．
（1）求矩阵A的逆矩阵A^-1；
（2）求矩阵A的特征值和特征向量；
（3）求圆x²+y²=1在经过矩阵A对应的变换后得到的曲线的方程．

难度：中等

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2．已知二阶矩阵M=
2 1
a b
（a，b∈R），若矩阵M属于特征值-1的一个特征向量
α1
=
-1
3
，属于特征值3的一个特征向量
α2
=
1
1
．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若向量
β
=
-3
5
，计算M⁵
β
的值．

难度：中等

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3．已知矩阵A=
12
-14
．
（Ⅰ）求A的逆矩阵A^-1；
（Ⅱ）求矩阵A的特征值λ₁、λ₂和对应的一个特征向量
α1
、
α2
．

难度：中等

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4．设矩阵A=
1 a
0 1
（a≠0）．
（1）求A²，A³，并猜想Aⁿ（n∈N^*）；
（2）利用（1）所猜想的结论，求证：Aⁿ的特征值是与n无关的常数，并求出此常数．

难度：中等

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5．已知矩阵M=
1 x
2 1
的一个特征值为-1，则其另一个特征值为．

难度：中等

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6．已知矩阵A=
3 a
0 -1
，a∈R，若点P（2，-3）在矩阵A的变换下得到点P′（3，3）．
（1）则求实数a的值；
（2）求矩阵A的特征值及其对应的特征向量．

难度：中等

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7．已知矩阵A=
1 2
-1 4

（1）求矩阵A的特征值和特征向量；
（2）若β=
-1
2
，求A⁵β

难度：中等

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8．已经矩阵M=
4 0
0 5
．
（1）求直线4x-10y=1在M作用下的方程；
（2）求M的特征值与特征向量．

难度：中等

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9．已知矩阵M=
2a
21
，其中a∈R，若点P（1，-2）在矩阵M对应的变换下得到点P′（-4，0），如果正实数λ是矩阵M的特征值，α是对应的一个特征向量且|α|=2
13
，求向量λ的值与向量α．

难度：中等

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10．设矩阵M=
2 1
4 a
，如果关于x、y的方程组M
x
y
=
1
6
没有实数解，那么矩阵M是否有非零特征值？如果有，求出这个特征值和对应的一个特征向量；如果没有，说明理由．

难度：中等

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