知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．选修4-2矩阵与变换
（Ⅰ）已知矩阵A=
-1 a
b 3
所对应的线性变换把直线l：2x-y=3变换为自身，求A^-1．
（Ⅱ）已知
e1
=
1
1
是矩阵B=
c 1
0 d
属于特征值λ₁=2的一个特征向量，求矩阵B及其另一个特征值及其对应的一个特征向量．

难度：中等

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2．矩阵与变换．已知矩阵A=
1 a
-1 b
，A的一个特征值λ=2，属于λ的特征向量是
α1
=
2
1
，求矩阵A与其逆矩阵．
坐标系与参数方程已知直线l的极坐标方程是ρcosθ+ρsinθ-1=0．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，在曲线C：
x=-1+cosθ
y=sinθ
(θ为参数)上求一点，使它到直线l的距离最小，并求出该点坐标和最小距离．

难度：中等

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3．选修4-2：矩阵与变换
已知M=
1 2
2 1
，β=
1
7
，试计算M³β．

难度：中等

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4．已知矩阵A=
3 a
0 -1
，a∈R，若点P（2，-3）在矩阵A的变换下得到点P′（3，3）．
（1）则求实数a的值；
（2）求矩阵A的特征值及其对应的特征向量．

难度：中等

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5．矩阵与变换
若矩阵A有特征值λ₁=3，λ₂=-1，它们所对应的特征向量分别为e1=
1
0
和e2=
1
2
，求矩阵A．

难度：中等

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6．已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量
e1
=[
1
1
]，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（-2，4）．求矩阵M．

难度：中等

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7．选修4-2：矩阵与变换
已知α=
.
2
1
.
为矩阵A=
.
1 a
-1 4
.
属于λ的一个特征向量，求实数a，λ的值及A²．

难度：中等

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8．已知矩阵M=
2 1
4 2
，向量
β
=
.
1
7
.
．
（1）求矩阵M的特征向量；
（2）计算M⁵⁰
β
．

难度：中等

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9．【选修4-2　矩阵与变换】
设M是把坐标平面上的点P（1，1），Q（2，-1）分别变换成点P₁（2，3），Q₁（4，-3）．
（Ⅰ）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；
（Ⅱ）求逆矩阵M^-1以及椭圆
x2
4
+
y2
9
=1在M^-1的作用下的新曲线的方程．

难度：中等

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10．矩阵A=
1 2
-1 4
的特征值是．

难度：中等

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