知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在平面直角坐标系$xOy$中，曲线$C_{1}$的参数方程为$\begin{cases}x= \dfrac{1}{2}t \\ y=m+ \dfrac{ \sqrt{3}}{2}t\end{cases} (t$为参数$)$，在以坐标原点$O$为极点，$x$轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线$C_{2}$的极坐标方程为$ρ=4\cos \left(θ- \dfrac{π}{6}\right) $．
$(1)$写出曲线$C$${\,\!}_{2}$的直角坐标方程；

$(2)$设点$P$，$Q$分别在$C$${\,\!}_{1}$，$C$${\,\!}_{2}$上运动，若$|PQ|$的最小值为$1$，求$m$的值．

难度：中等

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2．求极坐标方程$ρ=$$ \dfrac{2+2\cos θ}{\sin ^{2}θ}$所对应的直角坐标方程．

难度：中等

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3．

在极坐标系中，曲线$C$的极坐标方程化为$\rho =6\sin \theta $，点$P$的极坐标为$(\sqrt{2},\dfrac{\pi }{4})$，以极点为坐标原点，极轴为$x$轴正半轴，建立平面直角坐标系．

$(1)$求曲线$C$的直角坐标方程和点$P$的直角坐标；

$(2)$过点$P$的直线$l$与曲线$C$相交于$A$，$B$两点，若$|PA|=2|PB|$，求$|AB|$的值．

难度：中等

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4．
确定极坐标方程$ρ^{2}\cos 2θ-2ρ\cos θ=1$表示的曲线．

难度：中等

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5．
坐标系与参数方程选讲．
已知曲线$C$：$ \begin{cases} \overset{x=\cos \theta }{y=\sin \theta }\end{cases}(θ$为参数$)$．
$(1)$将$C$参数方程化为普通方程；
$(2)$若把$C$上各点的坐标经过伸缩变换$ \begin{cases} \overset{x{{'}}=3x}{y{{'}}=2y}\end{cases}$后得到曲线$C^{′}$，求曲线$C^{′}$上任意一点到两坐标轴距离之积的最大值．

难度：中等

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6．

曲线${{C}_{1}}$的参数方程为$\begin{cases} & x=2\cos \alpha \\ & y=2+2\sin \alpha \\ \end{cases}(\alpha $为参数$)$，$M$是曲线${{C}_{1}}$上的动点，且$M$是线段$OP$的中点，$P$点的轨迹为曲线${{C}_{2}}$，直线$l$的极坐标方程为$\rho \sin \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)=\sqrt{2}$，直线$l$与曲线${{C}_{2}}$交于$A,B$两点．

$(1)$求曲线${{C}_{2}}$的普通方程；$(2)$求线段$AB$的长$.$

难度：中等

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7．将单位圆经过伸缩变换：φ： $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20x%E2%80%B2%3D%CE%BBx%20%5C%5C%20y%E2%80%B2%3D%CE%BCy%5Cend%7Bcases%7D$ （λ＞0，μ＞0）得到曲线C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D$ =1
（1）求实数λ，μ的值；
（2）以原点O 为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，将曲线C 上任意一点到极点的距离ρ（ρ≥0）表示为对应极角θ（0≤θ＜2π）的函数，并探求θ为何值时，ρ取得最小值？

难度：中等

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8．
【题文】在平面直角坐标系中，已知曲线：（为参数），将上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的和倍后得到曲线．以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线：．
（1）试写出曲线的极坐标方程与曲线的参数方程；
（2）在曲线上求一点，使点到直线的距离最小，并求此最小值．

难度：中等

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9．
【题文】在极坐标系中，过点作圆的切线，则切线的极坐标方程是．

难度：中等

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10．
【题文】 (理)在极坐标系中，直线ρsin(θ+)=2被圆ρ=4截得的弦长为。
(文) 设满足，则的最小值为．

难度：中等

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