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          共50条信息

            • 1． 记等式1•n+2•（n-1）+3•（n-2）+…+n•1=
              1
              6
              n（n+1）（n+2）左边的式子为f（n），用数学归纳法证明该等式的第二步归纳递推时，即当n从k变为k+1时，等式左边的改变量f（k+1）-f（k）=（　　）
              A．k+1
              B．1•（k+1）+（k+1）•1
              C．1+2+3+…+k
              D．1+2+3+…+k+（k+1）
              难度：中等
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            • 2． 一种计算装置，有一数据入口A和一个运算出口B，按照某种运算程序：①当从A口输入自然数1时，从B口得到
              1
              3
              ，记为f(1)=
              1
              3
              ；②当从A口输入自然数n（n≥2）时，在B口得到的结果f（n）是前一个结果f（n-1）的
              2(n-1)-1
              2(n-1)+3
              倍．
              （Ⅰ）当从A口分别输入自然数2，3，4时，从B口分别得到什么数？
              （Ⅱ）根据（Ⅰ）试猜想f（n）的关系式，并用数学归纳法证明你的结论．
              难度：中等
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            • 3． 当n∈N*时，Sn=1+2+3+…+（n+3），Tn=
              (n+3)(n+4)
              2
              ．
              （Ⅰ）求S1，S2，T1，T2；
              （Ⅱ）猜想Sn与Tn的数量关系，并用数学归纳法证明．
              难度：中等
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            • 4． 用数学归纳法证明不等式1+
              1
              2
              +
              1
              3
              +…+
              1
              2n-1
              ＜n（n∈N，且n＞1）时，不等式的左边从n=k到n=k+1，需添加的式子是（　　）
              A．
              1
              2k
              +
              1
              2k+1
              +
              1
              2k+2
              +…+
              1
              2k+1-1
              B．
              1
              2k+1-1
              C．
              1
              2k
              +
              1
              2k+1-1
              D．
              1
              4
              +
              1
              5
              +
              1
              6
              +…+
              1
              2k+1-1
              难度：中等
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            • 5． 当n≥2，n∈N*时，设f（n）=（1-
              1
              4
              ）（1-
              1
              9
              ）（1-
              1
              16
              ）•…•（1-
              1
              n2
              ）．
              （Ⅰ）求f（2）、f（3）、f（4）的值；
              （Ⅱ）猜想f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．
              难度：中等
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            • 6． 如果x是实数，且x＞-1，x≠0，n为大于1的自然数，用数学归纳法证明：（1+x）n＞1+nx．
              难度：中等
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            • 7． （2016春•海淀区期中）已知函数f（x）=
              1
              x
              （x＞0），对于正数x1，x2，…，xn（n∈N+），记Sn=x1+x2+…+xn，如图，由点（0，0），（xi，0），（xi，f（xi）），（0，f（xi））构成的矩形的周长为Ci（i=1，2，…，n），都满足Ci=4Si（i=1，2，…，n）．
              （Ⅰ）求x1；
              （Ⅱ）猜想xn的表达式（用n表示），并用数学归纳法证明．
              难度：中等
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            • 8． 在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n（n∈N*）的第（ii）步中，假设n=k时原等式成立，那么在n=k+1时需要证明的等式为（　　）
              A．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）
              B．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）
              C．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）
              D．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）
              难度：中等
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            • 9． 用数学归纳法证明1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）=n（n+1）2，从n=k到n=k+1，等号左边需增加的代数式为    ．
              难度：中等
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            • 10． n2（n≥4，n∈N*）个正数排成一个n行n列的数阵，A=
              a11a12a13a14…a1n
              a21a22a23a24…a2n
              a31a32a33a34…a3n
              ………
              an1an2an3an4…ann
              ，其中aij（1≤i≤n，1≤j≤n）表示该数阵中位于第i行第j列的数，已知该数阵每一行的数成等差数列，每一列的数成公比为2的等比数列，且a22=6，a33=16．
              （Ⅰ） 求a11和aij．
              （Ⅱ）设An=a1n+a2（n-1）+a3（n-2）+…+an1．
              ①求An；
              ②证明：当n是3的倍数时，An+n能被21整除．
              难度：中等
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