知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．设f（n）=nⁿ⁺¹，g（n）=（n+1）ⁿ，n∈N^*．
（1）当n=1，2，3，4时，比较f（n）与g（n）的大小．
（2）根据（1）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明．

难度：中等

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3．已知数列{a_n}为等差数列，且有a₃-a₆+a₁₀-a₁₂+a₁₅=20，a₇=14．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n及其前n项和S_n；
（Ⅱ）记数列{
1
S
2
n
}的前n项和为T_n，试用数学归纳法证明对任意n∈N^*，都有Tn≤
3
4
-
1
n+1
．

难度：中等

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4．各项都为正数的数列{a_n}，满足a₁=1，a_n+1²-a_n²=2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
≤
2n-1
对一切n∈N⁺恒成立．

难度：中等

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5．试比较nⁿ⁺¹与（n+1）ⁿ（n∈N^*）的大小．
当n=1时，有nⁿ⁺¹    （n+1）ⁿ（填＞、=或＜）；
当n=2时，有nⁿ⁺¹    （n+1）ⁿ（填＞、=或＜）；
当n=3时，有nⁿ⁺¹    （n+1）ⁿ（填＞、=或＜）；
当n=4时，有nⁿ⁺¹    （n+1）ⁿ（填＞、=或＜）；
猜想一个一般性的结论，并加以证明．

难度：中等

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6．用数学归纳法证明：1+
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
≥
3n
2n+1
（n∈N^*）．

难度：中等

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7．已知函数f（x）=x-sinx，数列{a_n}满足：0＜a₁＜1，a_n+1=f（a_n），n=1，2，3，…．证明：
（Ⅰ）0＜a_n+1＜a_n＜1；
（Ⅱ）a_n+1＜
1
6
an³．

难度：中等

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8．已知函数f（x）=
x+3
x+1
（x≠-1）．设数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n），数列{b_n}满足b_n=|a_n-
3
|，S_n=b₁+b₂+…+b_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）用数学归纳法证明b_n≤
(
3
-1)n
2n-1
；
（Ⅱ）证明S_n＜
2
3
3
．

难度：中等

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9．已知a_n=
12+22+32+…+n2
(n+1)n
n∈N*求证：a_n＜1．

难度：中等

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10．已知数列{a_n}中，a₁=
1
2
，a_n+1=sin（
π
2
a_n）（n∈N^*）．
证明：0＜a_n＜a_n+1＜1．

难度：中等

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