知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．若f（n）=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
，n∈N，当n≥3时，证明：f（n）＞
n+1
．

难度：中等

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2．若x_i＞0（i=1，2，3，…，n），观察下列不等式：（x₁+x₂）（
1
x1
+
1
x2
）≥4，（x₁+x₂+x₃）（
1
x1
+
1
x2
+
1
x3
）≥9，…，

请你猜测（x₁+x₂+…+x_n）（
1
x1
+
1
x2
+…+
1
xn
）满足的不等式，并用数学归纳法加以证明．

难度：中等

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3．已知函数f（x）=lnx-ax+
1-a
x
-1（a∈R）．
（Ⅰ）当a＜
1
2
时，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a=0时，对于任意的n∈N₊，且n≥2，证明：不等式
1
f(2)
+
1
f(3)
+…+
1
f(n)
＞
3
4
-
2n+1
2n(n+1)
．

难度：中等

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4．已知f（x）=3-4^x+2xln2，数列{a_n} 满足：-
1
2
＜a₁＜0，21+an+1=f（a_n）（n∈N^*）
（1）求f（x）在[-
1
2
，0]上的最大值和最小值；
（2）用数学归纳法证明：-
1
2
＜a_n＜0；
（3）判断a_n与a_n+1（n∈N^*）的大小，并说明理由．

难度：中等

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5．用数学归纳法证明：对于大于1的任意自然数n，都有
1
12
+
1
22
+
1
32
…
1
n2
＜2-
1
n
成立．

难度：中等

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6．已知等比数列{a_n} 的各项均为正数，且公比不等于1，数列{b_n}对任意正整数n，均有：（b_n+1-b_n+2）•log₂a₁+（b_n+2-b_n）•log₂a₃+（b_n-b_n+1）•log₂a₅=0 成立，b₁=1，b₇=13；
（1）求数列{b_n}的通项公式及前n项和S_n；
（2）在数列{b_n}中依次取出第1项，第2项，第4项，第8项，…，第2^n-1项，…，组成一个新数列 {c_n}，求数列 {c_n}的前n项和T_n；
（3）对（1）（2）中的S_n、T_n，当n≥3时，比较T_n与S_n的大小．

难度：中等

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7．试比较3ⁿ与（n+1）²（n∈N^*）的大小，并证明．

难度：中等

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8．设n∈N^*，f（n）=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
，试比较f（n）与
n+1
的大小．

难度：中等

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9．证明不等式1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＜2
n
（n∈N^*）

难度：中等

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10．已知：a，b∈R⁺，n＞1，n∈N^*，求证：
an+bn
2
≥(
a+b
2
)n．

难度：中等

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