知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．用数学归纳法证明不等式 $1%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%7D%2B%E2%80%A6%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%5E%7Bn-1%7D%7D%EF%BC%9E%20%5Cfrac%20%7B127%7D%7B64%7D$ 成立，起始值至少应取为（　　）

A．7

B．8

C．9

D．10

难度：较易

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3．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，通项公式为 $a_%7Bn%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bn%7D%EF%BC%8Cf%28n%29%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7BS_%7B2n%7D%2Cn%3D1%7D%7BS_%7B2n%7D-S_%7Bn-1%7D%2Cn%5Cgeq%202%7D%5Cend%7Bcases%7D$ ．
（Ⅰ）计算f（1），f（2），f（3）的值；
（Ⅱ）比较f（n）与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论．

难度：较易

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4．
已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，通项公式为${a}_{n}= \dfrac{1}{n} $，$f(n)=\begin{cases}{S}_{2n,}n=1 \\ {S}_{2n}-{S}_{n-1},n\geqslant 2\end{cases} $
$($Ⅰ$)$计算$f(1)$，$f(2)$，$f(3)$的值；
$($Ⅱ$)$比较$f(n)$与$1$的大小，并用数学归纳法证明你的结论．

难度：较易

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5．

用数学归纳法证明“$1+ \dfrac {1}{2}+ \dfrac {1}{3}+…+ \dfrac {1}{2^{n}-1} < n(n∈N^{*},n > 1)$”时，由$n=k(k > 1)$不等式成立，推证$n=k+1$时，左边应增加的项数是$($　　$)$

A．$2^{k-1}$

B．$2^{k}-1$

C．$2^{k}$

D．$2^{k}+1$

难度：较易

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6．

用数学归纳法证明不等式$ \dfrac{1}{n+1}+ \dfrac{1}{n+2}+⋯ \dfrac{1}{2n} > \dfrac{11}{24}(n∈{N}^{*}) $的过程中，由 $n$$=$$k$ 递推到 $n$$=$$k$$+1$ 时，下列说法正确的是$($ $)$

A．增加了一项$ \dfrac{1}{2(k+1)} $

B．增加了两项$ \dfrac{1}{2k+1} $和$ \dfrac{1}{2(k+1)} $

C．增加了 $B$ 中的两项，但又减少了一项$ \dfrac{1}{k+1} $

D．增加了 $A$ 中的一项，但又减少了一项$ \dfrac{1}{k+1} $

难度：较易

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7．若f（n）=1+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D$ +…+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%20%5Csqrt%20%7Bn%7D%7D$ ，n∈N，当n≥3时，证明：f（n）＞ $%20%5Csqrt%20%7Bn%2B1%7D$ ．

难度：较易

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8．用数学归纳法证明等式 $1%2B2%2B3%2B%E2%80%A6%2B%28n%2B3%29%3D%20%5Cfrac%20%7B%28n%2B3%29%28n%2B4%29%7D%7B2%7D%28n%E2%88%88N%5E%7B%2B%7D%29$ 时，第一步验证n=1时，左边应取的项是 ______

难度：较易

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9．已知f（n）=1+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ +L+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bn%7D$ （n∈N^*），用数学归纳法证明f（2ⁿ）＞ $%20%5Cfrac%20%7Bn%7D%7B2%7D$ 时，f（2^k+1）-f（2^k）等于 ______ ．

难度：较易

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