知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），若y=
f(x)
x
在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“一阶比增函数”；若y=
f(x)
x2
在（0，+∞）上增函数，则称f（x）为“二阶比增函数”．
我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为A，所有“二阶比增函数”组成的集合记为B．
（1）设函数f（x）=ax³-2（a-2）x²+（a-1）x（x＞0，a∈R）
①求证：当a=0时，f（x）∈A∩B；
②若f（x）∈A，且f（x）∉B，求实数a的取值范围．
（2）对定义在（0，+∞）上的函数f（x），若f（x）∈B，且存在常数k使得∀x∈（0，+∞），f（x）＜k，求证：f（x）＜0．

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2．已知函数f（x）=（x-t）|x|（t∈R）．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当t＞0时，若f（x）在区间[-1，2]上的最大值为M（t），最小值为m（t），求M（t）-m（t）的最小值．

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3．已知函数f（x）=
1
4
a（x-2）⁴+（x-2）²+a（x-2）（a≠0），函数f（x）与函数g（x）的图象关于直线x=1对称．
（1）求函数g（x）．
（2）a≥2时，求证：函数g（x）在区间（
a
a+1
，1）不单调．

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4．函数f（x）=|x+2|的单调递增区间是．

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5．已知f（log_ax）=x-
k-1
x
（k∈R），且函数f（x）是定义域为R的奇函数，其中a＞0，且a≠1．
（1）求k的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论；
（3）若f（1）=
3
2
时，不等式f（a^2x+a^-2x）+f（ma^-x-ma^x）＞0对任意x∈[1，+∞）均成立，求实数m的取值范围．

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6．（B类题）已知函数f（x）=
-x2+2x(x＞0)
1(x=0)
-x-1(x＜0)
．
（Ⅰ）求f{f（f（-1））}的值；
（Ⅱ）画出函数f（x）的图象；
（Ⅲ）指出函数f（x）的单调区间．

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7．已知a为实数，函数f（x）=x²-|x²-ax-2|在区间（-∞，-1）和（2，+∞）上单调递增，则a的取值范围为．

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8．已知t为常数且0＜t＜1，函数g（x）=
1
2
（x+
1-t
x
）（x＞0），h（x）=
x2-2x+2+t
．
（1）求证：g（x）在（0，
1-t
）上单调递减，在（
1-t
，+∞）上单调递增；
（2）若函数g（x）与h（x）的最小值恰为函数f（x）=x³+ax²+bx（a，b∈R）的两个零点，求a+b的取值范围．

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9．已知函数f（x）=x|x-1|+alnx．
（1）当a=-1时，求f（x）在[1，e]上的最大值；
（2）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；
（3）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

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10．设函数f(x)=|
1
x
-1|（x＞0）．
（1）写出函数f（x）的单调区间（不要求推理过程）；
（2）是否存在正实数m，n（m＜n），使函数f（x）的定义域为[m，n]时值域为[
m
3
，
n
3
]？若存在，求m，n的值；若不存在，请说明理由．

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