知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知定义在R上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁），那么函数f（x）称为“Ω函数”．给出下列函数：
①f（x）=cosx；
②f（x）=2^x；
③f（x）=x|x|；
④f（x）=ln（x²+1）．
其中“Ω函数”的个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

难度：较难

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2．已知定义域为R的函数f（x）=
-2x+1
2x+1+a
是奇函数．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）判断函数f（x）在R上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；
（Ⅲ）若不等式f（2^x+1）+f（k•2^x+1+2k）＞0在区间[0，+∞）上有解，求实数k的取值范围．

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3．已知函数f（x）=|2^x-

|，其在区间[0，1]上单调递增，则a的取值范围为（　　）

A．[0，1]

B．[-1，0]

C．[-1，1]

D．[-

，

]

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4．已知函数f（x）=

-x2+ax-2，	x≤1
logax，	x＞1

在R上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）

A．0＜a≤3

B．a≥2

C．2≤a≤3

D．0＜a≤2或a≥3

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5．设f（x）是定义在R上的增函数，且对任意x，都有f（-x）+f（x）=0恒成立，如果实数m，n满足不等式f（m²-6m+21）+f（n²-8n）＜0，那么m²+n²的取值范围是（　　）

A．（9，49）

B．（13，49）

C．（9，25）

D．（3，7）

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6．已知函数f（x）的定义域为D，若同时满足以下两个条件：
①函数f（x）在D内是单调递减函数；
②存在区间[a，b]⊆D，使函数f（x）在[a，b]内的值域是[-b，-a]．
那么称函数f（x）为“W函数”．
已知函数f(x)=-
x
-k为“W函数”．
（1）当k=0时，b-a的值是；
（2）实数k的取值范围是．

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7．已知函数f（x）为定义在[0，3]上的减函数，则满足f（2x-1）＜f（1）的实数x的取值范围是（　　）

A．[0，1]

B．（1，2]

C．[

，2]

D．（1，3]

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8．已知向量
a
=（2cosx，2sinx），
b
=(cosx，-
3
cosx)，函数f（x）=
a
•
b
，g(x)=f(
π
6
x+
π
3
)+ax（a为常数）．
（1）求函数f（x）图象的对称轴方程；
（2）若函数g（x）的图象关于y轴对称，求g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2011）的值；
（3）已知对任意实数x₁，x₂，都有|cos
π
3
x1-cos
π
3
x2|≤
π
3
|x1-x2|成立，当且仅当x₁=x₂时取“=”．求证：当a＞
2π
3
时，函数g（x）在（-∞，+∞）上是增函数．

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9． ①y=tanx在定义域上单调递增；
②若锐角α、β满足cosα＞sinβ，则α+β＜
π
2
；
③f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且在[-1，0]上是增函数，若θ∈(
π
4
，
π
2
)，则f（sinθ）＞f（cosθ）；
④要得到函数y=cos(
x
2
-
π
4
)的图象，只需将y=sin
x
2
的图象向左平移
π
2
个单位．
其中真命题的序号为．

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10．已知函数f（x）=x³+x（-2＜x＜2），则不等式f（a）+f（a²-2）＜0的解集为．

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