知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．已知函数f（x）（x∈D），若存在常数T（T＞0），对任意x∈D都有f（x+T）=T•f（x），则称函数f（x）为T倍周期函数
（1）判断h（x）=x是否是T倍周期函数，并说明理由．
（2）证明g(x)=(
1
4
)x是T倍周期函数，且T的值是唯一的．
（3）若f（n）（n∈N^*）是2倍周期函数，f（1）=1，f（2）=-4，S_n表示f（n）的前n 项和，C_n=
S2n
S2n-1
，若C_n＜log_a（a+1）+10恒成立，求a的取值范围．

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2．设函数f（x）=ax²+b，其中a，b是实数．
（Ⅰ）若ab＞0，且函数f[f（x）]的最小值为2，求b的取值范围；
（Ⅱ）求实数a，b满足的条件，使得对任意满足xy=l的实数x，y，都有f（x）+f（y）≥f（x）f（y）成立．

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3．设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，并且满足下面三个条件：
①对任意正数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；
②当x＞1时，f（x）＞0；
③f（3）=1，
（1）求f（1），f(
1
3
)的值；
（2）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上单调性，并用定义给出证明；
（3）对于定义域内的任意实数x，f（kx）+f（4-x）＜2（k为常数，且k＞0）恒成立，求正实数k的取值范围．

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4．已知函数f（x），对于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，f（x）＜0，且f(1)=-
1
2
．
（Ⅰ）求f（0），f（3）的值；
（Ⅱ）当-8≤x≤10时，求函数f（x）的最大值和最小值；
（Ⅲ）设函数g（x）=f（x²-m）-2f（|x|），判断函数g（x）最多有几个零点，并求出此时实数m的取值范围．

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5．给出定义，若a，b为常数，g（x）满足g（a+x）+g（a-x）=2b，则称函数y=g（x）的图象关于点（a，b）成和谐对称，已知函数f（x）=
2x+1-a
a-x
（x≠1），定义域为A．
（Ⅰ）判断y=f（x）的图象是否关于点（a，-2）成和谐对称；
（Ⅱ）当a=1时，求f（sinx）的值域；
（Ⅲ）对于任意的x_i∈A，设计构造过程：x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n+1=f（x_n），如果x_i∈A（i=2，3，4，…）构造过程将继续下去，如果x_i∉A，构造过程将停止，若对任意x_i∈A，构造过程可以无限进行下去，求a的值．

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6．已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＜0时，f（x）＞0．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）判断f（x）在R上的单调性，并加以证明；
（3）解关于x的不等式f（x²）+3f（a）＞3f（x）+f（ax），其中常数a∈R．

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7．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（
x1
x2
）=f（x₁）-f（x₂）．
（1）求f（1）的值；
（2）若当x＞1时，有f（x）＜0．求证：f（x）为单调递减函数；
（3）在（2）的条件下，若f（5）=-1，求f（x）在[3，25]上的最小值．

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8．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足对于任意的m，n∈R⁺，都有f（mn）=f（m）+f（n）成立，当x＞1时，f（x）＜0．
（1）判断f（x）的单调性，并证明；
（2）若f（6）=-1，解不等式f（x+3）＜-2-f（x）；
（3）比较f（
m+n
2
）与
1
2
[f（m）+f（n）]的大小（其中m，n＞0，m≠n）．

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9．已知f（x）的定义域为R，且f（x+2）=f（x），当x∈[-1，1]时，f（x）=x²．设I_k=（2k-1，2k+1]，k∈Z．
（1）求f（x）在I_k上的解析式；
（2）若关于x的方程f（x）=ax在I_k上恰有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围．

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10．已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，都有（f（a）+f（b））（a+b）＞0成立，且f（1）=3．
（1）判断f（x）在区间[-1，1]上的单调性，并给出证明；
（2）解不等式：f（x+
1
2
）＜f（
1
x-1
）；
（3）若f（x）+3≥-m²-2tm对所有的x∈[-1，1]，t∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

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