知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．已知函数f(x)=
1
2x+1
-
1
2
．
（1）求证：函数f（x）是R上的奇函数；
（2）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

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3．已知定义在R上的奇函数f（x）=a×3^x+3^-x，a为常数．
（1）求a的值；
（2）用单调性定义证明f（x）在[0，+∞）上是减函数；
（3）解不等式f（x-1）+f（2x+3）＜0．

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4．如图，已知A（10，0），直线x=t（0＜t＜10）与函数y=e^x的图象交于点P，与x轴交于点H，记△APH的面积为f（t）．
（1）求函数f（t）的解析式；
（2）求函数f（t）的最大值．
（3）若g（t）=
f(t)•e-t+
1
6
t3-4(t＞0)
bt(t≤0)

探究：是否存在实数m，使得方程g（t）=m有且只有三个实数解，若存在求出m的取值范围，若不存在，请说明理由．

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5．已知函数f（x）=
ex-a
（e为自然对数的底数，a∈R），若存在x∈[0，1]，使f（f（x））=x成立，则实数a的取值范围是．

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6．设x₁，x₂∈R，函数f（x）满足e^x=

1+f(x)

1-f(x)

，若f（x₁）+f（x₂）=1，则f（x₁+x₂）最小值是（　　）

A．4

B．2

C．

D．

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7．已知函数f（x）=b•a^x（其中a，b为常数且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对于任意的x∈（-∞，1]，（
1
a
）^x+（
1
b
）^x-m≥0恒成立，求m的取值范围；
（3）若g（x）=
x•f(x)
2x(x2+1)
，试用定义法证明g（x）在区间[1，+∞）上单调递减．

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8．对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为不等函数．
①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②当x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1时，总有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．
已知函数g（x）=x³与h（x）=2^x-a是定义在[0，1]上的函数．
（1）试问函数g（x）是否为不等函数？并说明理由；
（2）若函数h（x）是不等函数，求实数a组成的集合．

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9．已知函数f（x）=2ae^x（a＞0，e为自然对数的底数）的图象与直线x=0的交点为M，函数g（x）=ln
x
a
（a＞0）的图象与直线y=0的交点为N，|MN|恰好是点M到函数g（x）=ln
x
a
（a＞0）图象上的最小值，则实数a的值是．

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10．已知函数f（x）=9^x-3^x+1+c（其中c是常数）．
（1）若当x∈[0，1]时，恒有f（x）＜0成立，求实数c的取值范围；
（2）若存在x₀∈[0，1]，使f（x₀）＜0成立，求实数c的取值范围；
（3）若方程f（x）=c•3^x在[0，1]上有唯一实数解，求实数c的取值范围．

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