知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知定义在R上的函数f（x）=|x-m|+|x|，m∈N^*，存在实数x使f（x）＜2成立．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）若α，β＞1，f（α）+f（β）=2，求证：
4
α
+
1
β
≥
9
2
．

难度：较难

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2．已知不等式|x+2|+|x-2丨＜10的解集为A．
（1）求集合A；
（2）若∀a，b∈A，x∈R₊，不等式a+b＞（x-4）（
1
x
-9）+m恒成立，求实数m的取值范围．

难度：较难

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3．已知函数f（x）=lnx-kx+1．
（1）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；
（2）证明：
ln2
3
+
ln3
8
+
ln4
15
+…
lnn
n2-1
+（1+
1
n
）ⁿ＜
n2+n+10
4
（n∈N^*且n＞1）．

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4．已知f（x）=|
3
4
-
1
2
x|-|
5
4
+
1
2
x|
（Ⅰ）关于x的不等式f（x）≥a²-3a恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若f（m）+f（n）=4，且m＜n，求m+n的取值范围．

难度：较难

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5．（2015秋•洪湖市校级期中）据报我国正分别在大连和上海建造两航母，而建造航母必需特种钢．为建造航母的需要，要将两种不同的特种钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截成三种规格的小钢板的块数如下表所示：
规格类型
钢板类型 A规格 B规格 C规格
第一种钢板 2 1 1
第二种钢板 1 2 3
今需要A、B、C三种规格的成品分别15、18、27块．问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？

难度：较难

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6．不等式|2x-1|-|x+1|＜2的解集为{x|a＜x＜b}．
（1）求a，b的值；
（2）已知x＞y＞z，求证：存在实数k使-
3a
2(x-y)
+
b
4(y-z)
≥
k
x-z
恒成立，并求出k的最大值．

难度：较难

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7．设函数f（x）=2^|x+a|-|x-b|，
（1）当a=1，b=-1时，求使f（x）≥2
2
的x取值范围；
（2）若f（x）≥
1
32
恒成立，求a-b的取值范围．

难度：较难

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8．已知函数f（x）=|x+1|-|2x-1|．
（1）求不等式f（x）＜-1的解集；
（2）若不等式f（x）≤a|x-2|对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

难度：较难

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9．参考如下定义及定理，解答问题．
定义：横坐标与纵坐标均为整数的点叫做整点，顶点为整点的三角形叫做整点三角形．
定理：设整点三角形内部的整点数为N，边上（包括顶点）的整点数为L，则三角形的面积为S=N+
L
2
-1．
问题：求满足不等式组
y≤2x
y≥
1
2
x
x+y≤30
的整点的个数．

难度：较难

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10．已知数列{a_n}中a₁=1，其前n项和记为S_n，且满足3（S₁+S₂+…+S_n）=（n+2）S_n．
（1）求数列{
Sn
(n+1)n
}的通项公式；
（2）设无穷数列b₁，b₂，…b_n，…对任意自然数m和n，不等式|b_m+n-b_m-b_n|＜
1
m+an
均成立，证明：数列{b_n}是等差数列．

难度：较难

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规格类型钢板类型	A规格	B规格	C规格
第一种钢板	2	1	1
第二种钢板	1	2	3