知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

3．已知函数f（x）=x²+bx+c（b，c∈R）满足f（b）≥f（c），记f（x）的最小值为m（b，c）．
（Ⅰ）证明：当b＞0时，m（b，c）≤1；
（Ⅱ）当b，c满足m（b，c）≥1时，求f（1）的最大值．

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4．设函数f（x）=ax²+b，其中a，b是实数．
（Ⅰ）若ab＞0，且函数f[f（x）]的最小值为2，求b的取值范围；
（Ⅱ）求实数a，b满足的条件，使得对任意满足xy=l的实数x，y，都有f（x）+f（y）≥f（x）f（y）成立．

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5．已知二次函数f（x），若f（x）＜0时的解集为{x|-1＜x＜4}，且f（6）=28．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数g(x)=
f(x-m)
x
(m＞1)在区间[8
3
，16]上是单调递增函数，试求函数g（x）在该区间上的最大值的取值范围．

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6．已知函数f（x）=2ax²+bx-a+1，其中a∈R，b∈R．
（Ⅰ）当a=b=1时，f（x）的零点为；
（Ⅱ）当b=
4
3
时，如果存在x₀∈R，使得f（x₀）＜0，试求a的取值范围；
（Ⅲ）如果对于任意x∈[-1，1]，都有f（x）≥0成立，试求a+b的最大值．

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7．已知函数f（x）=kx²+（3+k）x+3，其中k为常数
（Ⅰ）若f（x）在区间[-2，2]上是增函数，求实数k的取值范围；
（Ⅱ）是否存在非正实数k使得函数f（x）在[-1，4]上的最大值是4？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

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8．已知x₁、x₂是函数f（x）=x²+mx+t的两个零点，其中常数m、t∈Z，记
n
i=0
xi=x0+x1+…+xn，设Tn=
n
r=0
x
n-r
1
x
r
2
（n∈N^*）．
（1）用m、t表示T₁、T₂；
（2）求证：T₅=-mT₄-tT₃；
（3）求证：对任意的n∈N^*，T_n∈Z．

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9．已知f（x）是二次函数，若f（x）的最小值为2，且f（0）=f（2）=3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求f（x）在区间[t，t+1]（t∈R）的最小值．

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10．已知定义在R上的奇函数f（x），当x≤0时，f（x）=
1
8
x²+
1
2
x．
①求x＞0时，f（x）的解析式；
②关于x的方程f（x）=
1
2
a²-1有三个不同的根，求a的取值范围；
③是否存在正实数a，b（a≠b）当x∈[a，b]，g（x）=f（x）且g（x）的值域为[
1
b
，
1
a
]，若存在，求a，b的值，若不存在，请说明理由．

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