知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设S为复数集C的非空子集．如果
（1）S含有一个不等于0的数；
（2）∀a，b∈S，a+b，a-b，ab∈S；
（3）∀a，b∈S，且b≠0，
a
b
∈S，那么就称S是一个数域．
现有如下命题：
①如果S是一个数域，则0，1∈S；
②如果S是一个数域，那么S含有无限多个数；
③复数集是数域；
④S={a+b
2
|a，b∈Q，}是数域；
⑤S={a+bi|a，b∈Z}是数域．
其中是真命题的有（写出所有真命题的序号）．

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2．对于任意的n∈N^*，记集合E_n={1，2，3，…，n}，P_n={x|x=
a
b
，a∈En，b∈En}．若集合A满足下列条件：①A⊆P_n；②∀x₁，x₂∈A，且x₁≠x₂，不存在k∈N^*，使x₁+x₂=k²，则称A具有性质Ω．
如当n=2时，E₂={1，2}，P₂={1，2，
1
2
，
2
2
}．∀x₁，x₂∈P₂，且x₁≠x₂，不存在k∈N^*，使x₁+x₂=k²，所以P₂具有性质Ω．
（Ⅰ）写出集合P₃，P₅中的元素个数，并判断P₃是否具有性质Ω．
（Ⅱ）证明：不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E₁₅=A∪B．
（Ⅲ）若存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使P_n=A∪B，求n的最大值．

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3．已知集合M{h（x）|h（x）的定义域为R，且对任意x都有h（-x）=-h（x）}设函数f（x）=
-2x+a
2x+1+b
（a，b为常数）．
（1）当a=b=1时，判断是否有f（x）∈M，说明理由；
（2）若函数f（x）∈M，且对任意的x都有f（x）＜sinθ成立，求θ的取值范围．

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4．非空集合S⊆N^*，且满足条件“x∈S，则（10-x）∈S”，则集合S的所有元素之和的总和为．

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5．用|A|表示非空集合A中集合元素个数（例如A={1，3，5}，则|A|=3），定义M（a，b）=

a，a≥b

b，a＜b

(a，b∈R)，若A={B|B⊆{1，2，3}且B中至少有一个奇数}，C={x|x²-4|x|+3=0}，那么M（|A|，|C|）可能取值的有（　　）个．

A．1

B．2

C．3

D．4

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6．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：
在定义域（0，+∞）内存在x₀，使函数f（x₀+1）≤f（x₀）f（1）成立；
（1）请给出一个x₀的值，使函数f(x)=
1
x
∈M；
（2）函数f（x）=x²-x-2是否是集合M中的元素？若是，请求出所有x₀组成的集合；若不是，请说明理由；
（3）设函数f(x)=
a
x2+2
∈M，求实数a的取值范围．

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7．集合A={1，0}，B={3，4}，Q={2a+b|a∈A，b∈B}，则Q的所有元素之和等于．

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8．已知集合S={0，1，2，3，4，5}，A是S的一个子集，当x∈A时，若有x-1∉A，且x+1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4个元素的子集共有个，其中的一个是．

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9．集合I={1，2，3，4，5}，集合A、B为集合I的两个非空子集，若集合A中元素的最大值小于集合B中元素的最小值，则满足条件的A、B的不同情形有（　　）种．

A．46

B．47

C．48

D．49

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10．设集合A={x|1≤x≤6，x∈N}，对于A的每个非空子集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数（如：{1，2，5}的“交替和”是5-2+1=4，{6，3}的“交替和”就是6-3=3，{3}的“交替和”就是3）．则集合A的所有这些“交替和”的总和为（　　）

A．128

B．192

C．224

D．256

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