知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，若不等式2n²-n-3＜（5-λ）a_n对∀_n∈N⁺恒成立，则整数λ的最大值为．

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2．已知数列{a_n}中，a_n=
2n-1(n为正奇数)
2n-1(n为正偶数)
，设数列{a_n}的前n项和为S_n，则S₉= ．（用数字作答）．

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3．在等差数列{a_n}中，a₆₆＜0，a₆₇＞0，且a₆₇＞|a₆₆|，S_n为数列{a_n}的前n项和，则使S_n＞0的n的最小值为（　　）

A．66

B．67

C．132

D．133

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4． {a_n}的通项公式为a_n=-n+p，{b_n}的通项公式为bn=2n-5，设cn=
an，an≤bn
bn，an＞bn
，若在数列{c_n}中，c₉＞c_n，n∈N^*，n≠9，则实数p的取值范围是．

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5．已知数列a_n=n³-10n²+32n（n∈N^*），给定n，若对任意正整数m＞n，恒有a_m＞a_n，则n的最小值为（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

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6．各项均为正数的等比数列{a_n}，a₁=1，a₂a₄=16，数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=
3n2+n
2
(n∈N+)．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_n+（-1）ⁿb_n，求数列{c_n}的前n项和U_n；
（3）令d_n=
bn
an
（n∈N⁺），数列{d_n}的前n项和为T_n，若T_n≥t²+t恒成立，求t的取值范围．

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7．若数列{a_n}满足：对任意的n∈N^*，只有有限个正整数m使得a_m＜n成立，记这样的m的个数为（a_n）^*，则得到一个新数列{（a_n）^*}．例如，若数列{a_n}是1，2，3…，n，…，则数列{（a_n）^*}是0，1，2，…n-1，…已知对任意的n∈N^*，a_n=n²，则（（a_n）^*）^*=（　　）

A．2ⁿ

B．2n²

C．n

D．n²

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8．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=
1
2an+1
（n∈N^*）．
（1）证明：数列{|a_n-
1
2
|}为单调递减数列；
（2）记S_n为数列{|a_n+1-a_n|}的前n项和，证明：S_n＜
5
3
（n∈N^*）．

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9．已知数列{a_n}通项公式为a_n=At^n-1+Bn+1，其中A，B，t为常数，且t＞1，n∈N^*．等式（x²+x+2）¹⁰=b₀+b₁（x+1）+b₂（x+1）²+…+b₂₀（x+1）²⁰，其中b_i（i=0，1，2，…，20）为实常数．
（1）若A=0，B=1，求
10
n=1
a_nb_2n的值；
（2）若A=1，B=0，且
10
n=1
（2a_n-2ⁿ）b_2n=2¹¹-2，求实数t的值．

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10．数列{a_n}，a_n≥0，a₁=0，a_n+1²+a_n+1-1=a_n²，n∈N^*．
（1）求证：a_n＜1；
（2）求证：数列{a_n}递增；
（3）求证：
1
1+a1
+
1
(1+a1)(1+a2)
+…+
1
(1+a1)(1+a2)…(1+an)
＜3．

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