知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n} 的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2，（n=1，2，3，…）；数列 {b_n}中，b₁=1，点p（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上．
（Ⅰ）求数列{a_n} 和 {b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{
bn+1
2
}的前n和为S_n，求
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
；
（Ⅲ）设数列{c_n}的前n项和为T_n，且c_n=a_n•b_n，求T_n．

难度：较难

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2．过坐标原点O作倾斜角为60°的直线交抛物线Γ：y²=x于P₁点，过P₁点作倾斜角为120°的直线交x轴于Q₁点，交Γ于P₂点；过P₂点作倾斜角为60°的直线交x轴于Q₂点，交Γ于P₃点；过P₃点作倾斜角为120°的直线，交x轴于Q₃点，交Γ于P₄点；如此下去…．又设线段OQ₁，Q₁Q₂，Q₂Q₃，…，Q_n-1Q_n，…的长分别为a₁，a₂，a₃，…，a_n，…，数列{a_n}的前n项的和为S_n．
（1）求a₁，a₂；
（2）求a_n，S_n；
（3）设bn=aan(a＞0且a≠1)，数列{b_n}的前n项和为T_n，若正整数p，q，r，s成等差数列，且p＜q＜r＜s，试比较T_p•T_s与T_q•T_r的大小．

难度：较难

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3．如图，过坐标原点O作倾斜角为60°的直线交抛物线Γ：y²=x于P₁点，过P₁点作倾斜角为120°的直线交x轴于Q₁点，交Γ于P₂点；过P₂点作倾斜角为60°的直线交x轴于Q₂点，交Γ于P₃点；过P₃点作倾斜角为120°的直线，交x轴于Q₃点，交Γ于P₄点；如此下去…．又设线段OQ₁，Q₁Q₂，Q₂Q₃，…，Q_n-1Q_n，…的长分别为a₁，a₂，a₃，…，a_n，…，△OP₁Q₁，△Q₁P₂Q₂，△Q₂P₃Q₃，…，△Q_n-1P_nQ_n，…的面积分别为G₁，G₂，G₃，…，G_n，…，数列{a_n}的前n项的和为S_n．
（1）求a₁，a₂；
（2）求a_n，
lim
n→∞
Gn
Sn
；
（3）设bn=aan(a＞0且a≠1)，数列{b_n}的前n项和为T_n，对于正整数p，q，r，s，若p＜q＜r＜s，且p+s=q+r，试比较T_p•T_s与T_q•T_r的大小．

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4．（2012春•西城区期末）如图，设P₀是抛物线y=x²上一点，且在第一象限．过点P₀作抛物线的切线，交x轴于Q₁点，过Q₁点作x轴的垂线，交抛物线于P₁点，此时就称P₀确定了P₁．依此类推，可由P₁确定P₂，…．记P_n（x_n，y_n），n=0，1，2，…．给出下列三个结论：
①x_n＞0；
②数列{x_n}为单调递减数列；
③对于∀n∈N，∃x₀＞1，使得y₀+y₁+y₂+…+y_n＜2．
其中所有正确结论的序号为．

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5．已知椭圆C的中心在原点，长轴在x轴上，经过点A（0，1），离心率e=
2
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l_n：y=
1
n+1
（n∈N*）与椭圆C在第一象限内相交于点A_n（x_n，y_n），记an=
1
2
x

2
n
，试证明：对∀n∈N*，a1•a2•…•an＞
1
2
．

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6．已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意正整数n，点（a_n，S_n）都在直线2x-y-
1
2
=0上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=
4-2n
an
，求{b_n}的前n项和T_n．

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7．已知抛物线的顶点在坐标原点O，焦点F在x正半轴上，倾斜角为锐角的直线l过F点．设直线l与抛物线交于A、B两点，与抛物线的准线交于M点，
MF
=λ
FB
，其中λ＞0
（I）若λ=1，求直线l的斜率；
（II）若点A、B在x轴上的射影分别为A₁、B₁，且|
B1F
|，|
OF
|，2|
A1F
|成等差数列，求λ的值．

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8．有一个翻硬币游戏，开始时硬币正面朝上，然后掷骰子根据下列①、②、③的规则翻动硬币：①骰子出现1点时，不翻动硬币；②出现2，3，4，5点时，翻动一下硬币，使另一面朝上；③出现6点时，如果硬币正面朝上，则不翻动硬币；否则，翻动硬币，使正面朝上．按以上规则，在骰子掷了n次后，硬币仍然正面朝上的概率记为P_n．
（Ⅰ）求证：∀n∈N^*，点（P_n，P_n+1）恒在过定点（
5
9
，
5
9
），斜率为-
1
2
的直线上；
（Ⅱ）求数列{P_n}的通项公式P_n；
（Ⅲ）用记号S_n→m表示数列{Pn-
5
9
}从第n项到第m项之和，那么对于任意给定的正整数k，求数列S_1→k，S_k+1→2k，…，S_{（n-1）k+1→nk}，…的前n项和T_n．

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9．已知曲线C：xy-2kx+k²=0与直线l：x-y+8=0有唯一公共点，而数列{a_n}的首项为a₁=2k，且当n≥2时点（a_n-1，a_n）恒在曲线C上，数列{b_n}满足关系bn=
1
an-2

①求k的值；
②求证数列{b_n}是等差数列；
③求数列{a_n}的通项公式．

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10．设F（1，0），点M在x轴上，点P在y轴上，且
MN
=2
MP
，
PM
•
PF
=0；
（1）当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₃，y₃）是曲线C上除去原点外的不同三点，且
|AF|
，
|BF|
，
|DF|
成等差数列，当线段AD的垂直平分线与x轴交于点E（3，0）时，求点B的坐标．

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