知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在xOy平面上有一系列点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…P_n（x_n，y_n）对每个正整数n，点P_n位于函数y=x²（x≥0）的图象上，以点P_n为圆心的圆P_n与H轴都相切，且圆P_n与圆P_n+1又彼此外切．若x₁=1，且x_n+1＜x_n（n∈N⁺）．
（1）求证：数列{
1
xn
}是等差数列
（2）设圆P_n的面积为S_n，T_n=
S1
+
S2
+…+
Sn
，求证：T_n＜
3
π
2
．

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2．已知函数f（x）=lnx-
2(x-1)
x+1
．
（1）若函数f（x）在区间（0，k）上存在零点，求实数k的取值范围；
（2）记P_n（n，lnn）（n∈N₊），线段P_nP_n+1的斜率为k_n，S_n=
1
k1
+
1
k2
+…+
1
kn
，求证：S_n＜
n(n+2)
2
．

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3．已知数列，A_n：a₁，a₂，…，a_n（n≥2，n∈N^*）是正整数1，2，3，…，n的一个全排列．若对每个k∈{2，3，…，n}都有|a_k-a_k-1|=2或3，则称A_n为H数列．
（Ⅰ）写出满足a₅=5的所有H数列A₅；
（Ⅱ）写出一个满足a_5k（k=1，2，…，403）的H数列A₂₀₁₅的通项公式；
（Ⅲ）在H数列A₂₀₁₅中，记b_k=a_5k（k=1，2，…，403）．若数列{b_k}是公差为d的等差数列，求证：d=5或-5．

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4．数列{a_n}的前n项和为S_n，点P（S_n，a_n）在直线（3-m）x+2my-m-3=0（m∈N₊，m≠3）上
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}的公比q=f（m），数列{b_n}满足b₁=3，b_n=
3
2
f（b_n-1）（n∈N₊，n≥2），求证：{
1
bn
}为等差数列，并求通项b_n
（3）若m=1，C_n=
an
bn
，T_n为数列{C_n}的前n项和，求T_n的最小值．

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5．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意的n∈N^*，都有a_n＞0，S_n=
a
3
1
+
a
3
2
+
a
3
3
+…+
a
3
n
．
（1）求a₁，a₂的值．
（2）对于数列{a_n}，求证：a_2n+1ⁿ≥a_2nⁿ+a_2n-1ⁿ
（3）已知椭圆方程C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），数列{a_n}中的a₂，a₄分别是椭圆的短半轴长的平方和长半轴长的平方，过点P(
2
3
，-
1
3
)而不过点Q(
2
，1)的动直线l交椭圆C于A、B两点，记△QAB的面积为S，证明：S＜3．

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6．在直角坐标平面上有一点列P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…，对每个正整数n，点P_n位于函数y=3x+
13
4
的图象上，且P_n的横坐标构成以-
5
2
为首项，-1为公差的等差数列{x_n}．
（1）求点P_n的坐标；
（2）设抛物线列C₁，C₂，C₃，…，C_n，…中的每一条的对称轴都垂直于x轴，第n条抛物线C_n的顶点为P_n且过点D_n（0，n²+1），记过点D_n且与抛物线C_n相切的直线
的斜率为k_n，求证：
1
k 1k2
+
1
k2k3
+…+
1
kn-1 kn
＜
1
10
．

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7．已知曲线C：y=x²（x＞0），过C上的点A₁（1，1）作曲线C的切线l₁交x轴于点B₁，再过点B₁作y轴的平行线交曲线C于点A₂，再过点A₂作曲线C的切线l₂交x轴于点B₂，再过点B₂作y轴的平行线交曲线C于点A₃，…，依次作下去，记点A_n的横坐标为a_n（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求证：a_nS_n≤1；
（3）求证：
n
i=1
1
aiSi
≤
4n-1
3
．

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8．在数列{a_n}中，前n项和S_n=na+n（n-1）b，（b≠0）．
（Ⅰ）求证{a_n}是等差数列；
（Ⅱ）求证：点P_n（a_n，
Sn
n
-1）都落在同一条直线上；
（Ⅲ）若a=1，b=
1
2
，且P₁、P₂、P₃三点都在以（r，r）为圆心，r为半径的圆外，求r的取值范围．

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9．在各项均为正数的数列{a_n}中，前n项和S_n满足2S_n+1=a_n（2a_n+1），n∈N^*．
（Ⅰ）证明{a_n}是等差数列，并求这个数列的通项公式及前n项和的公式；
（Ⅱ）在XOY平面上，设点列M_n（x_n，y_n）满足a_n=nx_n，S_n=n²y_n，且点列M_n在直线C上，M_n中最高点为M_k，若称直线C与x轴、直线x=a，x=b所围成的图形的面积为直线C在区间[a，b]上的面积，试求直线C在区间[x₃，x_k]上的面积．

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10．若数列{a_n}（n∈N^*）满足3a₃=7a₅＞0，三点P（n，a_n）、Q（n+1，a_n+1）、R（n+2，a_n+2）在一条直线上．
（1）若a₁=33，求通项公式a_n；
（2）若b_n=a_na_n+1a_n+2（n∈N^*），数列{b_n}的项是否均为正数？如果是，则说明理由；如果不是，则数列
{b_n}中有多少项为正数？

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