知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

在\(∆ABC \)中，\(\left| \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}\right|=\left| \overrightarrow{AB}- \overrightarrow{AC}\right| \)，\(AB=4\)，\(AC=3\)，则\(\overrightarrow{BC} \)在\(\overrightarrow{CA} \)方向上的投影是\((\) \()\)

A．\(4\)

B．\(3\)

C．\(-4\)

D．\(-3\)

难度：较难

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2．如果点的极坐标为\(A\)\(\left( \left. 2, \dfrac{π}{4} \right. \right)\)，\(B\)\(\left( \left. 2, \dfrac{5π}{4} \right. \right)\)，且\(\triangle ABC\)为等腰直角三角形，如何求直角顶点\(C\)的极坐标．

难度：较难

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3．

\((1)\)在单调递增的等差数列\(\{a_{n}\}\)中，已知\(a_{3}=1\)，\({{a}_{2}}{{a}_{4}}=\dfrac{3}{4}\)，则\(a_{1}=\)________．

\((2)\)已知两个单位向量\(a\)，\(b\)的夹角为\(60^{\circ}\)，\(c=ta+(1-t)b\)，若\(b⊥c\)，则\(t=\)________．

\((3)\)在\(\triangle ABC\)中，\(AB=2\)，\(AC=3\)，\(BC\)边上的中线\(AD=2\)，则\(\triangle ABC\)的面积为________．

\((4)\)已知函数\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，当\(x < 0\)时，\(f(x)\)单调递增，且\(f(-1)=0\)，设\(φ(x)=\sin ^{2}x+m\cos x-2m\)，集合\(M=\{m\}\)对任意的\(x∈[0,\dfrac{\pi }{2}]\)，\(φ(x) < 0\}\)，\(N=\{m\}\)对任意的\(x∈[0,\dfrac{\pi }{2}]\)，\(f(φ(x)) < 0\}\)，则\(M∩N=\)________．

难度：较难

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4．
\((1)\)已知向量\( \overrightarrow{a}=(2,-1), \overrightarrow{b}=(1,3) \)，且\(\overrightarrow{a}\bot (\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b})\)，则\(m=\)__________．

\((2)\)已知点\(P\left( \sin \dfrac{3}{4}\pi ,\cos \dfrac{3}{4}\pi \right)\)落在角\(\theta \)的终边上，且\(\theta \in \left[ 0,2\pi \right)\)，则\(\tan \left( \theta +\dfrac{\pi }{3} \right)\)的值为___________．

\((3)\)已知三棱锥\(S-ABC\)的所有顶点都在以\(O\)为球心的球面上，\(\Delta ABC\)是边长为\(1\)的正三角形，\(SC\)为球\(O\)的直径，若三棱锥\(S-ABC\)的体积为\(\dfrac{\sqrt{11}}{6}\)，则球\(O\)的表面积为___________\(.\)　

\((4)\)已知\({{F}_{1}},{{F}_{2}}\)为双曲线\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\left( a > 0,b > 0 \right)\)的左、右焦点，\(O\)为坐标原点，点\(P\)在双曲线的左支上，点\(M\)在直线\(x=\dfrac{{{a}^{2}}}{c}\left( c=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \right)\)上，且满足\(\overrightarrow{{{F}_{1}}O}=\overrightarrow{PM},\overrightarrow{OP}=\lambda \left( \dfrac{\overrightarrow{O{{F}_{1}}}}{\overrightarrow{\left| O{{F}_{1}} \right|}}+\dfrac{\overrightarrow{OM}}{\overrightarrow{\left| OM \right|}} \right)\left( \lambda > 0 \right)\)，则该双曲线的离心率为__________．

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5．
已知向量\( \overset{→}{a}=(2,1), \overset{→}{b}=(-3,2) \)，若\(( \overset{→}{a}+ \overset{→}{b})⊥(2 \overset{→}{a}-λ \overset{→}{b}) \)，则\(λ =\) ______．

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6．
设\(F\)为抛物线\({x}^{2}=-4y \)的焦点，该抛物线在点\(P (-4,-4)\)处的切线与\(x\)轴的交点为\(Q\)，则三角形\(PFQ\)的外接圆方程为 _______ ．

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7．
已知动点\(M\)到定点\((\dfrac{1}{4},0)\)的距离比它到\(y\)轴的距离大\(\dfrac{1}{4}\)．

\((I)\)求动点\(M\)的轨迹方程；

\((II)\)若过点\(P(t,0)\)的直线\(l\)与抛物线\(C\)相交于\(A\)，\(B\)两点，且以\(AB\)为直径的圆过原点\(O\)，求证\(t\)为常数，并求出此常数。

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8．
已知向量\(\overrightarrow{m}=(\cos \alpha ,-1)\)，\(\overrightarrow{n}=(2,\sin \alpha )\)，其中\(\alpha \in \left( 0,\dfrac{\pi }{2} \right)\)，且\(\overrightarrow{m}\bot \overrightarrow{n}\)．

\((1)\)求\(\cos 2\alpha \)的值；

\((2)\)若\(\sin (\alpha -\beta )=\dfrac{\sqrt{10}}{10}\)，且\(\beta \in \left( 0,\dfrac{\pi }{2} \right)\)，求角\(\beta \)．

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9．

已知向量\( \overset{→}{a} =(\)\(\sin x\)，\(\cos x\)\()\)，\( \overset{→}{b} =(\)\(\sin x\)\(+\)\(\cos x\)，\(\sin x\)\(-\)\(\cos x\)\()(\)\(x\)\(∈R)\)，若\( \overset{→}{a} ⊥ \overset{→}{b} \)，则\(x\)的取值集合为( )

A．\(\{ \)\(x\)\(|\) \(x\)\(= \dfrac{kπ}{2} + \dfrac{π}{8} \)， \(k\)\(∈Z\}\)

B．\(\{ \)\(x\)\(|\) \(x\)\(=\) \(k\)\(π+ \dfrac{π}{8} \)， \(k\)\(∈Z\}\)

C．\(\{ \)\(x\)\(|\) \(x\)\(= \dfrac{kπ}{2} + \dfrac{π}{4} \)， \(k\)\(∈Z\}\)

D．\(\{ \)\(x\)\(|\) \(x\)\(=\) \(k\)\(π+ \dfrac{π}{4} \)， \(k\)\(∈Z\}\)

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10．
向量\(a\)，\(b\)，\(c\)满足\(a⊥b\)，\(｜a｜=｜b｜=2\)，且\((c-a)⊥(c-b)\)，则\(｜c｜\)的最大值为________．

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