知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知
a
与
b
为两个不共线的单位向量，k为实数，若
a
+
b
与k
a
-
b
垂直，则k= ．

难度：较难

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2．已知向量
a
是以点A（3，-1）为起点，且与向量
b
=（-3，4）垂直的单位向量，求
a
的终点坐标．

难度：较难

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3．已知
a
=（cosα，sinα），
b
=（cosβ，sinβ），其中0＜α＜β＜π．
（1）求证：
a
+
b
与
a
-
b
互相垂直；
（2）若k
a
+
b
与k
a
-
b
大小相等，求β-α（k≠0）．

难度：较难

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4．已知

=（1，2），

=(-3，-4)，且

⊥

，则

在

方向上的投影是（　　）

A．

B．-11

C．-

D．11

难度：较难

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5．已知向量

=（4，3），向量

是垂直于

的单位向量，则

=（　　）

A．(

，

)或(

，

)

B．(

，

)或(-

，-

)

C．(

，-

)或(-

，

)

D．(

，-

)或(-

，

)

难度：较难

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6．（理）设α∈（0，π），函数f（x）的定义域为[0，1]，且f（0）=0，f（1）=1，对定义域内任意的x，y，满足f（
x+y
2
）=f（x）sinα+（1-sinα）f（y）．
（1）试用α表示f（
1
2
），并在f（
1
2
）时求出α的值；
（2）试用α表示f（
1
4
），并求出α的值；
（3）n∈N时，a_n=
1
2n
，求f（a_n），并猜测x∈[0，1]时，f（x）的表达式．
（文）已知向量
OA
=(3，-4)，
OB
=(6，-3)，
OC
=（5-m，-3-m）
（1）若点A、B、C不能构成三角形，求实数m应满足的条件．
（2）若△ABC为直角三角形，求m的取值范围．

难度：较难

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7．有下列几个命题：①若
a
与
b
-
c
都是非零向量，则“
a
•
b
=
a
•
c
”是“
a
⊥(
b
-
c
)”的充要条件；②已知等腰△ABC的腰为底的2倍，则顶角A的正切值是
15
7
；③在平面直角坐标系xoy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC，已知点A（-2，0），B（6，8），C（8，6），则D点的坐标为（0，-1）；④设
a
，
b
，
c
为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足
a
与
b
不共线，
a
⊥
c
，|
a
|=|
c
|，则|
b
•
c
|的值一定等于以
a
，
b
为邻边的平行四边形的面积．其中正确命题的序号是．（写出全部正确结论的序号）

难度：较难

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8．已知向量
e
=(1，0)，O是坐标原点，动点P满足：|
OP
|-
OP
•
e
=2
（1）求动点P的轨迹；
（2）设B、C是点P的轨迹上不同两点，满足
OB
=λ
OC
(λ≠0，λ∈R)，在x轴上是否存在点A（m，0），使得
AB
⊥
AC
，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

难度：较难

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9．已知在△ABC中，

•

，则O为△ABC的（　　）

A．内心

B．外心

C．重心

D．垂心

难度：较难

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10．已知
i
、
j
分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量，
OB1
=a•
i
+2
j
（a∈R），对任意正整数n，
BnBn+1
=51•
i
+3•2n-1
j
．
（1）若
OB1
⊥
B2B3
，求a的值；
（2）求向量
OBn
；
（3）设向量
OBn
=xn•
i
+yn•
j
，求最大整数a的值，使对任意正整数n，都有x_n＜y_n成立．

难度：较难

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