知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
某厂有\(4\)台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现\(1\)次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需\(1\)名维修工人进行维修，每台机器出现故障需要维修的概率为\( \dfrac {1}{3}\)．
\((\)Ⅰ\()\)若出现故障的机器台数为\(x\)，求\(x\)的分布列；
\((\)Ⅱ\()\)该厂至少有多少名维修工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于\(90\%\)？
\((\)Ⅲ\()\)已知一名维修工人每月只有维修\(1\)台机器的能力，每月需支付给每位维修工人\(1\)万元的工资，每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生\(5\)万元的利润，否则将不产生利润，若该厂现有\(2\)名维修工人，求该厂每月获利的均值．

难度：较难

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2．

已知随机变量\(ξ_{i}\)满足\(P(ξ_{i}=1)=p_{i}\)，\(P(ξ_{i}=0)=1-p_{i}\)，\(i=1\)，\(2.\)若\(0 < p_{1} < p_{2} < \dfrac {1}{2}\)，则\((\)　　\()\)

A．\(E(ξ_{1}) < E(ξ_{2})\)，\(D(ξ_{1}) < D(ξ_{2})\)

B．\(E(ξ_{1}) < E(ξ_{2})\)，\(D(ξ_{1}) > D(ξ_{2})\)

C．\(E(ξ_{1}) > E(ξ_{2})\)，\(D(ξ_{1}) < D(ξ_{2})\)

D．\(E(ξ_{1}) > E(ξ_{2})\)，\(D(ξ_{1}) > D(ξ_{2})\)

难度：较难

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3．
我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程\(.\)某市共有户籍人口\(400\)万，其中老人\((\)年龄\(60\)岁及以上\()\)人数约有\(66\)万，为了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取\(600\)人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以\(80\)岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如图表：
\((1)\)若采取分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取\(16\)人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？
\((2)\)估算该市\(80\)岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；
\((3)\)据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：\(①80\)岁及以上长者每人每月发放生活补贴\(200\)元；\(②80\)岁以下老人每人每月发放生活补贴\(120\)元；\(③\)不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴\(100\) 元\(.\)试估计政府执行此计划的年度预算．

难度：较难

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4．
已知从“神十”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为\( \dfrac {1}{3}\)，某植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，每次实验结果相互独立，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的\(.\)若该研究所共进行四次实验，设\(ξ\)表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值．
\((\)Ⅰ\()\)求随机变量\(ξ\)的分布列及\(ξ\)的数学期望\(E(ξ)\)；
\((\)Ⅱ\()\)记“不等式\(ξx^{2}-ξx+1 > 0\)的解集是实数集\(R\)”为事件\(A\)，求事件\(A\)发生的概率\(P(A)\)．

难度：较难

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5．

某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟实验，准备用\(A\)、\(B\)、\(C\)三种人工降雨方式分别对甲，乙，丙三地实施人工降雨，其实验统计结果如下

方式	实施地点	大雨	中雨	小雨	模拟实验次数
\(A\)	甲	\(2\)次	\(6\)次	\(4\)次	\(12\)次
\(B\)	乙	\(3\)次	\(6\)次	\(3\)次	\(12\)次
\(C\)	丙	\(2\)次	\(2\)次	\(8\)次	\(12\)次

假定对甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响，且不考虑洪涝灾害，请根据统计数据：
\((\)Ⅰ\()\)求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率；
\((\)Ⅱ\()\)考虑不同地区的干旱程度，当雨量达到理想状态时，能缓解旱情，若甲、丙地需中雨即达到理想状态，乙地必须是大雨才达到理想状态，记“甲，乙，丙三地中缓解旱情的个数”为随机变量\(X\)，求\(X\)的分布列和数学期望．

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6．
已知\(2\)件次品和\(3\)件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出\(2\)件次品或者检测出\(3\)件正品时检测结束．
\((1)\)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
\((2)\)已知每检测一件产品需要费用\(100\)元，设\(X\)表示直到检测出\(2\)件次品或者检测出\(3\)件正品时所需要的检测费用\((\)单位：元\()\)，求\(X\)的分布列和数学期望．

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7．
随着社会发展，广州市在一天的上下班时段经常会出现堵车严重的现象\(.\)交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念\(.\)记交通指数为\(T\)，其范围为\([0,10]\)，分别有\(5\)个级别；\(T∈[0,2)\)畅通；\(T∈[2,4)\)基本畅通；\(T∈[4,6)\)轻度拥堵；\(T∈[6,8)\)中度拥堵；\(T∈[8,10)\)严重拥堵\(.\)早高峰时段\((T\geqslant 3)\)，从广州市交通指挥中心随机选取了\(50\)个交通路段进行调查，依据交通指数数据绘制的直方图如图所示：
\((1)\)据此直方图，估算交通指数\(T∈[3,9)\)时的中位数和平均数；
\((2)\)据此直方图，求市区早高峰马路之间的\(3\)个路段至少有\(2\)个严重拥堵的概率；
\((3)\)某人上班路上所用时间，若畅通时为\(20\)分钟，基本畅通为\(30\)分钟，轻度拥堵为\(35\)分钟；中度拥堵为\(45\)分钟；严重拥堵为\(60\)分钟，求此人上班所用时间的数学期望．

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8．

甲、乙两人对目标各射击一次，甲命中目标的概率为\( \dfrac {2}{3}\)，乙命中目标的概率为\( \dfrac {4}{5}\)，若命中目标的人数为\(X\)，则\(D(X)\)等于\((\)　　\()\)

A．\( \dfrac {85}{225}\)

B．\( \dfrac {86}{225}\)

C．\( \dfrac {88}{225}\)

D．\( \dfrac {89}{225}\)

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9．
箱中装有\(4\)个白球和\(m(m∈N*)\)个黑球\(.\)规定取出一个白球得\(2\)分，取出一个黑球得\(1\)分，现从箱中任取\(3\)个球，假设每个球被取出的可能性都相等\(.\)记随机变量\(X\)为取出的\(3\)个球所得分数之和．
\((I)\)若\(P(X=6)= \dfrac {2}{5}\)，求\(m\)的值；
\((II)\)当\(m=3\)时，求\(X\)的分布列和数字期望\(E(X)\)．

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10．
某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为\( \dfrac {3}{4}\)：若初检不合格，则需要进行调试，经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为\( \dfrac {4}{5}.\)每台仪器各项费用如表：

项目生产成本检验费\(/\)次调试费出厂价

金额\((\)元\()\) \(1000\) \(100\) \(200\) \(3000\)

\((\)Ⅰ\()\)求每台仪器能出厂的概率；
\((\)Ⅱ\()\)求生产一台仪器所获得的利润为\(1600\)元的概率\((\)注：利润\(=\)出厂价\(-\)生产成本\(-\)检验费\(-\)调试费\()\)；
\((\)Ⅲ\()\)假设每台仪器是否合格相互独立，记\(X\)为生产两台仪器所获得的利润，求\(X\)的分布列和数学期望．

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项目	生产成本	检验费\(/\)次	调试费	出厂价
金额\((\)元\()\)	\(1000\)	\(100\)	\(200\)	\(3000\)