知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
某工厂的某种产品成箱包装，每箱\(200\)件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品\(.\)检验时，先从这箱产品中任取\(20\)件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验\(.\)设每件产品为不合格品的概率都为\(p(0 < p < 1)\)，且各件产品是否为不合格品相互独立．
\((1)\)记\(20\)件产品中恰有\(2\)件不合格品的概率为\(f(p)\)，求\(f(p)\)的最大值点\(p_{0}\)．
\((2)\)现对一箱产品检验了\(20\)件，结果恰有\(2\)件不合格品，以\((1)\)中确定的\(p_{0}\)作为\(p\)的值\(.\)已知每件产品的检验费用为\(2\)元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付\(25\)元的赔偿费用．
\((i)\)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为\(X\)，求\(EX\)；
\((ⅱ)\)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

难度：难

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2．
依据某地某条河流\(8\) 月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图\((\)甲\()\)所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图\((\)乙\()\)所示．
试估计该河流在\(8\) 月份水位的中位数；
\((I)\)以此频率作为概率，试估计该河流在\(8\) 月份发生\(1\) 级灾害的概率；
\((\)Ⅱ\()\)该河流域某企业，在\(8\) 月份，若没受\(1\)、\(2\) 级灾害影响，利润为\(500\) 万元；若受\(1\) 级灾害影响，则亏损\(100\) 万元；若受 \(2\) 级灾害影响则亏损\(1000\) 万元\(.\) 现此企业有如下三种应对方案：

方案
防控等级
费用\((\)单位：万元\()\)

方案一
无措施
\(0\)

方案二
防控 \(1\) 级灾害
\(40\)

方案三
防控 \(2\) 级灾害
\(100\)

试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？说明理由．

难度：难

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3．
近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，\(2017\)年双\(11\)期间，某购物平台的销售业绩高达\(1271\)亿人民币\(.\)与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出\(200\)次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为\(0.6\)，对服务的好评率为\(0.75\)，其中对商品和服务都做出好评的交易为\(80\)次．
\((\)Ⅰ\()\)完成下面的 \(2×2\)列联表，并回答是否有\(99\%\)的把握，认为商品好评与服务好评有关？

对服务好评对服务不满意合计

对商品好评

对商品不满意

合计 \(200\)

\((\)Ⅱ\()\)若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的\(3\)次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量\(X\)：
\((1)\)求对商品和服务全好评的次数\(X\)的分布列；
\((2)\)求\(X\)的数学期望和方差．
附：

\(P(K^{2}\geqslant k)\) \(0.15\) \(0.10\) \(0.05\) \(0.025\) \(0.010\) \(0.005\) \(0.001\)

\(k\) \(2.072\) \(2.706\) \(3.841\) \(5.024\) \(6.635\) \(7.879\) \(10.828\)

\((K^{2}= \dfrac {n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\)，其中\(n=a+b+c+d)\)

难度：难

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4．

为了治理大气污染，某市\(2017\)年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“国Ⅰ，Ⅱ轻型汽油车限行”，“整治散乱污染企业”等\(.\)如表是该市\(2016\)年和\(2017\)年\(12\)月份的空气质量指数\((AQI)(AQI\)指数越小，空气质量越好\()\)统计表．
表\(1\)：\(2016\)年\(12\)月\(AQI\)指数表：单位\((μg/m^{3})\)

日期	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)	\(9\)	\(10\)	\(11\)
\(AQI\)	\(47\)	\(123\)	\(232\)	\(291\)	\(78\)	\(103\)	\(159\)	\(132\)	\(37\)	\(67\)	\(204\)
日期	\(12\)	\(13\)	\(14\)	\(15\)	\(16\)	\(17\)	\(18\)	\(19\)	\(20\)	\(21\)	\(22\)
\(AQI\)	\(270\)	\(78\)	\(40\)	\(51\)	\(135\)	\(229\)	\(270\)	\(265\)	\(409\)	\(429\)	\(151\)
日期	\(23\)	\(24\)	\(25\)	\(26\)	\(27\)	\(28\)	\(29\)	\(30\)	\(31\)
\(AQI\)	\(47\)	\(155\)	\(191\)	\(64\)	\(54\)	\(85\)	\(75\)	\(249\)	\(329\)

表\(2\)：\(2017\)年\(12\)月\(AQI\)指数表：单位\((μg/m^{3})\)

日期	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)	\(9\)	\(10\)	\(11\)
\(AQI\)	\(91\)	\(187\)	\(79\)	\(28\)	\(44\)	\(49\)	\(27\)	\(41\)	\(56\)	\(43\)	\(28\)
日期	\(12\)	\(13\)	\(14\)	\(15\)	\(16\)	\(17\)	\(18\)	\(19\)	\(20\)	\(21\)	\(22\)
\(AQI\)	\(28\)	\(49\)	\(94\)	\(62\)	\(40\)	\(46\)	\(48\)	\(55\)	\(44\)	\(74\)	\(62\)
日期	\(23\)	\(24\)	\(25\)	\(26\)	\(27\)	\(28\)	\(29\)	\(30\)	\(31\)
\(AQI\)	\(50\)	\(50\)	\(46\)	\(41\)	\(101\)	\(140\)	\(221\)	\(157\)	\(55\)

根据表中数据回答下列问题：
\((\)Ⅰ\()\)求出\(2017\)年\(12\)月的空气质量指数的极差；
\((\)Ⅱ\()\)根据\(《\)环境空气质量指数\((AQI)\)技术规定\((\)试行\()》\)规定：当空气质量指数为\(0～50\)时，空气质量级别为一级\(.\)从\(2017\)年\(12\)月\(12\)日到\(12\)月\(16\)这五天中，随机抽取三天，空气质量级别为一级的天数为\(ξ\)，求\(ξ\)的分布列及数学期望；
\((\)Ⅲ\()\)你认为该市\(2017\)年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效？结合数据说明理由．

难度：难

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5．

为评估设备\(M\)生产某种零件的性能，从设备\(M\)生产零件的流水线上随机抽取\(100\)件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：

直径\(/mm\)

\(58\)

\(59\)

\(61\)

\(62\)

\(63\)

\(64\)

\(65\)

\(66\)

\(67\)

\(68\)

\(69\)

\(70\)

\(71\)

\(73\)

合计

件数

\(1\)

\(3\)

\(5\)

\(6\)

\(19\)

\(33\)

\(18\)

\(4\)

\(2\)

\(1\)

\(2\)

\(1\)

\(100\)

经计算，样本的平均值\(μ=65\)，标准差\(=2.2\)，以频率值作为概率的估计值．
\((1)\)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为\(X\)，并根据以下不等式进行评判\((p\)表示相应事件的频率\()\)：\(①p(μ-σ < X\leqslant μ+σ)\geqslant 0.6826.②P(μ-σ < X\leqslant μ+2σ)\geqslant 0.9544③P(μ-3σ < X\leqslant μ+3σ)\geqslant 0.9974.\)评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁\(.\)试判断设备\(M\)的性能等级．
\((2)\)将直径小于等于\(μ-2σ\)或直径大于\(μ+2σ\)的零件认为是次品
\((i)\)从设备\(M\)的生产流水线上随意抽取\(2\)件零件，计算其中次品个数\(Y\)的数学期望\(E(Y)\)；
\((ii)\)从样本中随意抽取\(2\)件零件，计算其中次品个数\(Z\)的数学期望\(E(Z)\)．

难度：难

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6．
从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了\(60\)名学生的成绩得到如图所示的频率分布直方图：
\((1)\)根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分；
\((2)\)若用分层抽样的方法从分数在\([30,50)\)和\([130,150]\)的学生中共抽取\(6\)人，该\(6\)人中成绩在\([130,150]\)的有几人？
\((3)\)在\((2)\)抽取的\(6\)人中，随机抽取\(3\)人，计分数在\([130,150]\)内的人数为\(ξ\)，求期望\(E(ξ)\)．

难度：难

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7．已知7件产品中有2件次品，现逐一不放回地进行检验，直到2件次品都能被确认为止．
（I）求检验次数为4的概率；
（II）设检验次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

难度：难

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8．某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如表所示：
休假次数 0 1 2 3
人数 5 10 20 15
根据表中信息解答以下问题：
（1）从该单位任选两名职工，求这两人休年假次数之和为4的概率；
（2）从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．

难度：难

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9．
在高三一次数学测验后，某班对选做题的选题情况进行了统计，如表．

坐标系与参数方程不等式选讲

人数及均分人数均分人数均分

男同学 \(14\) \(8\) \(6\) \(7\)

女同学 \(8\) \(6.5\) \(12\) \(5.5\)

\((\)Ⅰ\()\)求全班选做题的均分；
\((\)Ⅱ\()\)据此判断是否有\(90\%\)的把握认为选做\(《\)坐标系与参数方程\(》\)或\(《\)不等式选讲\(》\)与性别有关？
\((\)Ⅲ\()\)已知学习委员甲\((\)女\()\)和数学科代表乙\((\)男\()\)都选做\(《\)不等式选讲\(》.\)若在\(《\)不等式选讲\(》\)中按性别分层抽样抽取\(3\)人，记甲乙两人被选中的人数为，求的数学期望．
参考公式：\(K^{2}= \dfrac {n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\)，\(n=a+b+c+d\)．
下面临界值表仅供参考：

\(P(K^{2}\geqslant k_{0})\) \(0.15\) \(0.10\) \(0.05\) \(0.025\) \(0.010\) \(0.005\) \(0.001\)

\(k_{0}\) \(2.072\) \(2.706\) \(3.841\) \(5.024\) \(6.635\) \(7.879\) \(10.828\)

难度：难

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10．
春节来临，有农民工兄弟\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)四人各自通过互联网订购回家过年的火车票，若订票成功即可获得火车票，即他们获得火车票与否互不影响\(.\)若\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)获得火车票的概率分别是\(p_{1}, \dfrac {1}{2},p_{3}, \dfrac {1}{4}\)，其中\(p_{1} > p_{3}\)，又\(p_{1}, \dfrac {1}{2},2p_{3}\)成等比数列，且\(A\)、\(C\)两人恰好有一人获得火车票的概率是\( \dfrac {1}{2}\)．
\((1)\)求\(p_{1}\)，\(p_{3}\)的值；
\((2)\)若\(C\)、\(D\)是一家人且两人都获得火车票才一起回家，否则两人都不回家\(.\)设\(X\)表示\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)能够回家过年的人数，求\(X\)的分布列和期望\(EX\)．

难度：难

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0/40

进入组卷

方案	防控等级	费用\((\)单位：万元\()\)
方案一	无措施	\(0\)
方案二	防控 \(1\) 级灾害	\(40\)
方案三	防控 \(2\) 级灾害	\(100\)

	对服务好评	对服务不满意	合计
对商品好评
对商品不满意
合计			\(200\)

\(P(K^{2}\geqslant k)\)	\(0.15\)	\(0.10\)	\(0.05\)	\(0.025\)	\(0.010\)	\(0.005\)	\(0.001\)
\(k\)	\(2.072\)	\(2.706\)	\(3.841\)	\(5.024\)	\(6.635\)	\(7.879\)	\(10.828\)

	坐标系与参数方程		不等式选讲
人数及均分	人数	均分	人数	均分
男同学	\(14\)	\(8\)	\(6\)	\(7\)
女同学	\(8\)	\(6.5\)	\(12\)	\(5.5\)

\(P(K^{2}\geqslant k_{0})\)	\(0.15\)	\(0.10\)	\(0.05\)	\(0.025\)	\(0.010\)	\(0.005\)	\(0.001\)
\(k_{0}\)	\(2.072\)	\(2.706\)	\(3.841\)	\(5.024\)	\(6.635\)	\(7.879\)	\(10.828\)

休假次数	0	1	2	3
人数	5	10	20	15