知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校$200$名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间$($单位：分钟$)$进行调查，将收集的数据分成$[0,10)$，$[10,20)$，$[20,30)$，$[30,40)$，$[40,50)$，$[50,60)$六组，并作出频率分布直方图$($如图$)$，将日均课外体育锻炼时间不低于$40$分钟的学生评价为“课外体育达标”．

课外体育不达标课外体育达标合计

男 $60$ ______ ______

女 ______ ______ $110$

合计 ______ ______ ______

$(1)$请根据直方图中的数据填写下面的$2×2$列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过$0.01$的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？
$(2)$现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取$8$人，再从这$8$名学生中随机抽取$3$人参加体育知识问卷调查，记“课外体育不达标”的人数为$ξ$，求$ξ$的分布列和数学期望．
附参考公式与：$K^{2}= \dfrac {n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

$P(K^{2}\geqslant k_{0})$ $0.15$ $0.05$ $0.025$ $0.010$ $0.005$ $0.001$

$k_{0}$ $2.702$ $3.841$ $5.024$ $6.635$ $7.879$ $10.828$

难度：较难

解析收藏试题篮
2．
近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重$.$大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病$.$为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院$50$人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

患心肺疾病不患心肺疾病合计

男 $20$ $5$ $25$

女 $10$ $15$ $25$

合计 $30$ $20$ $50$

$($Ⅰ$)$用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽$6$人，其中男性抽多少人？
$($Ⅱ$)$在上述抽取的$6$人中选$2$人，求恰有一名女性的概率；
$($Ⅲ$)$为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量$K^{2}$，你有多大的把握认为心肺疾病与性别有关？
下面的临界值表供参考：

$P(K^{2}\geqslant k)$ $0.15$ $0.10$ $0.05$ $0.025$ $0.010$ $0.005$ $0.001$

$k$ $2.072$ $2.706$ $3.841$ $5.024$ $6.635$ $7.879$ $10.828$

$($参考公式$K^{2}= \dfrac {n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，其中$n=a+b+c+d)$

难度：较难

解析收藏试题篮
3．某校卫生所成立了调查小组，调查“按时刷牙与不患龋齿的关系”，对该校某年级800名学生进行检查，按患龋齿和不患龋齿分类，得汇总数据：按时刷牙且不患龋齿的学生有160 名，不按时刷牙但不患龋齿的学生有100 名，按时刷牙但患龋齿的学生有 240 名．
（1）该校4名校卫生所工作人员甲、乙、丙、丁被随机分成两组，每组 2 人，一组负责数据收集，另一组负责数据处理，求工作人员甲乙分到同一组的概率．
（2）是否有99.9%的把握认为该年级学生的按时刷牙与不患龋齿有关系？
附：k²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$
P（K²≥k₀） 0.010 0.005 0.001
k₀ 6.635 7.879 10.828

难度：较难

解析收藏试题篮

4．

国家实施二孩放开政策后，为了了解人们对此政策持支持态度是否与年龄有关，计生部门将已婚且育有一孩的居民分成中老年组（45岁以上，含45岁）和中青年组（45岁以下，不含45岁）两个组别，每组各随机调查了50人，对各组中持支持态度和不支持态度的人所占的频率绘制成等高条形图，如图所示：

	支持	不支持	合计
中老年组	______	______	50
中青年组	______	______	50
合计	______	______	100

（1）根据以上信息完成2×2列联表；
（2）是否有99%以上的把握认为人们对此政策持支持态度与年龄有关？

P（K²≥k₀）	0.050	0.010	0.001
k₀	3.841	6.635	10.828

附： $K%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ．

难度：较难

解析收藏试题篮

5．北京时间4月14日，是湖人当家球星科比•布莱恩特的退役日，当天有大量网友关注此事．某网上论坛有重庆网友200人，四川网友300人．为了解不同地区对“科比退役”事件的关注程度，现采用分层抽样的方法，从中抽取100名网友，先分别统计他们在论坛的留言条数，再将留言条数分成5组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）从样本中留言不足50条的网友中随机抽取2人，求恰好抽到2名重庆市网友的概率；
（2）规定留言不少于60条为“强烈关注”，否则为“一般关注”．

网友	强烈关注	一般关注	合计
重庆市	a= ______	b= ______	______
四川省	c= ______	d= ______	______
合计	______	______	______

完成上表，并判断是否有90%以上的把握认为关注程度与网友所在地区有关？
附：临界值表及参考公式：K²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ，n=a+b+c+d．

P（K²≥x₀）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
x₀	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

难度：较难

解析收藏试题篮

6．为了解某地区观众对大型综艺活动《中国好声音》的收视情况，随机抽取了100名
观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众收看该节目的场数与所对应的人数表：
场数 9 10 11 12 13 14
人数 10 18 22 25 20 5
将收看该节目场次不低于13场的观众称为“歌迷”，已知“歌迷”中有10名女性．
（Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料我们能否有95%的把握认为“歌迷”与性别有关？
非歌迷歌迷合计
男
女
合计
（Ⅱ）将收看该节目所有场次（14场）的观众称为“超级歌迷”，已知“超级歌迷”中有2名女性，若从“超级歌迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．
P（K²≥k） 0.05 0.01
k 3.841 6.635
附：K²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%292%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ．

难度：较难

解析收藏试题篮

7．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如表的列联表：

	男	女	总计
爱好	40	20	60
不爱好	20	30	50
总计	60	50	110

P（K²≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

参考公式：K²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28b%2Bc%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ，其中n=a+b+c+d
参照附表，得到的正确结论是（　　）

A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

难度：较难

解析收藏试题篮

8．某城市随机抽取一年内100 天的空气质量指数（AQI）的监测数据，结果统计如表：

API	[0，50]	（50，100]	（100，150]	（150，200]	（200，300]	＞300
空气质量	优	良	轻度污染	轻度污染	中度污染	重度污染
天数	6	14	18	27	20	15

（Ⅰ）若本次抽取的样本数据有30 天是在供暖季，其中有8 天为严重污染．根据提
供的统计数据，完成下面的2×2 列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的
空气严重污染与供暖有关”？

	非重度污染	严重污染	合计
供暖季	______	______	______
非供暖季	______	______	______
合计	______	______	100

（Ⅱ）已知某企业每天的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x 的关系式为y= $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%200%EF%BC%8C0%E2%89%A4x%E2%89%A4100%20%5C%5C%20400%EF%BC%8C100%EF%BC%9Cx%E2%89%A4300%20%5C%5C%202000%EF%BC%8Cx%EF%BC%9E300%5Cend%7Bcases%7D$ 试估计该企业一个月（按30 天计算）的经济损失的数学期望．
参考公式：K²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$

P（K²≥k）	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

难度：较难

解析收藏试题篮

9．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

	男	女	总计
爱好	40	20	60
不爱好	20	30	50
总计	60	50	110

由K²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ，算得K²= $%20%5Cfrac%20%7B110%C3%97%2840%C3%9730-20%C3%9720%29%5E%7B2%7D%7D%7B60%C3%9750%C3%9760%C3%9750%7D$ ≈7.8．
附表：

P（K²≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

参照附表，得到的正确结论是（　　）

A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

C．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

D．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

难度：较难

解析收藏试题篮

10．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：

	理科	文科
男	13	10
女	7	20

已知P（K²≥3.841）≈0.05，P（K²≥5.024）≈0.025．根据表中数据，得到K²= $%20%5Cfrac%20%7B50%C3%97%2813%C3%9720-10%C3%977%29%5E%7B2%7D%7D%7B23%5Ctimes%2027%5Ctimes%2020%5Ctimes%2030%7D$ ≈4.844．则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为（　　）

A．2.5%

B．5%

C．10%

D．95%

难度：较难

解析收藏试题篮

0/40

进入组卷

\(P(K^{2}\geqslant k_{0})\)	\(0.15\)	\(0.05\)	\(0.025\)	\(0.010\)	\(0.005\)	\(0.001\)
\(k_{0}\)	\(2.702\)	\(3.841\)	\(5.024\)	\(6.635\)	\(7.879\)	\(10.828\)

	患心肺疾病	不患心肺疾病	合计
男	\(20\)	\(5\)	\(25\)
女	\(10\)	\(15\)	\(25\)
合计	\(30\)	\(20\)	\(50\)

\(P(K^{2}\geqslant k)\)	\(0.15\)	\(0.10\)	\(0.05\)	\(0.025\)	\(0.010\)	\(0.005\)	\(0.001\)
\(k\)	\(2.072\)	\(2.706\)	\(3.841\)	\(5.024\)	\(6.635\)	\(7.879\)	\(10.828\)

	课外体育不达标	课外体育达标	合计
男	\(60\)	______	______
女	______	______	\(110\)
合计	______	______	______

场数	9	10	11	12	13	14
人数	10	18	22	25	20	5