知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．某设备在正常运行时，产品的质量m～N（μ，σ²），其中μ=500g，σ²=1，为了检验设备是否正常运行，质量检查员需要随机的抽取产品，测其质量．
（1）当质量检查员随机抽检时，测得一件产品的质量为504g，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质量检查员的决定是否有道理，并说明你判断的依据．
进而，请你揭密质量检查员做出“要求停止生产，检查设备”的决定时他参照的质量参数标准：
（2）请你根据以下数据，判断优质品与其生产季节有关吗？
品质
季节优质品数量合格品数量
夏秋季生产 26 8
春冬季生产 12 4
（3）该质量检查员从其住宅小区到公司上班的途中要经过6个红绿灯的十字路口，假设他在每个十字路口遇到红灯或绿灯是互相对立的，并且概率均为
1
3
，求该质量检查员在上班途中遇到红灯的期望和方差．
B₁ B₂
A₁ a b
A₂ c d
参考数据：
若X～N（μ，σ²），则P（（μ-σ＜X＜μ+σ）≈0.683，
P（（μ-2σ＜X＜μ+2σ）≈0.954，
P（（μ-3σ＜X＜μ+3σ）≈0.997，
X²=
(a+b+c+d)(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

p（x²≥k₀） 0.100 0.050 0.010
k₀ 2.706 3.841 6.635

难度：中等

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2． 2016年微信宣布：微信朋友圈除夕前后10天的所有广告收入，均将变为免费红包派送至全国网民的口袋，金额至少达到9位数．某商业调查公司对此进行了问卷调查，其中男性500人，女性400人，为了了解性别对“抢红包”的喜爱程度的影响，采用分层抽样方法从中抽取了45人的测评结果，并作出频数统计表如下：
表1：男性
等级喜欢一般不喜欢
频数 15 x 5
表2：女性
等级喜欢一般不喜欢
频数 15 3 y
（Ⅰ）由表中统计数据填写下边2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“喜欢抢红包与性别有关”；
男性女性总计
喜欢
非喜欢
总计
参考数据与公式：K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d．
P（K²≥k₀） 0.10 0.05 0.01
k₀ 2.706 3.841 6.635
临界值表：
（Ⅱ）若从样本中的女性中随机抽取3人，求恰有2人非喜欢的概率；
（Ⅲ）若以样本的频率估计概率，从参加调查问卷的人中随机抽取2名男性和1名女性，求其中非喜欢的人数X的分布列和数学期望．

难度：中等

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3．对某班学生是爱好体育还是爱好文娱进行调查，根据调查得到的数据，所绘制的二维条形图如图．
（1）根据图中数据，制作2×2列联表；
（2）若要采用分层抽样的方法从男生中共抽取5名候选人，再从5人中选两人分别做文体活动协调人，求选出的两人恰好是一人更爱好文娱，另一人更爱好体育的学生的概率；
（3）是否可以认为性别与是否爱好体育有关系？
参考数据：
P（K²≥k） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

难度：中等

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4．据统计，2015年“双11”天猫总成交金额突破912亿元．某购物网站为优化营销策略，对在11月11日当天在该网站进行网购消费且消费金额不超过1000元的1000名网购者（其中有女性800名，男性200名）进行抽样分析．采用根据性别分层抽样的方法从这1000名网购者中抽取100名进行分析，得到下表：（消费金额单位：元）
女性消费情况：
消费金额（0，200） [200，400） [400，600） [600，800） [800，1000]
人数 5 10 15 47 x
男性消费情况：
消费金额（0，200） [200，400） [400，600） [600，800） [800，1000]
人数 2 3 10 y 2
（Ⅰ）计算x，y的值；在抽出的100名且消费金额在[800，1000]（单位：元）的网购者中随机选出两名发放网购红包，求选出的两名网购者恰好是一男一女的概率；
女士男士总计
网购达人
非网购达人
总计
（Ⅱ）若消费金额不低于600元的网购者为“网购达人”，低于600元的网购者为“非网购达人”，根据以上统计数据填写2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为‘网购达人’与性别有关？”
附：
P（k²≥k₀） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
k₀ 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
（k²=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d）

难度：中等

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5．为了解大学生观看某电视节目是否与性别有关，一所大学心理学教师从该校学生中随机抽取了50人进行问卷调查，得到了如下的列联表，若该教师采用分层抽样的方法从50份问卷调查中继续抽查了10份进行重点分析，知道其中喜欢看该节目的有6人．
喜欢看该节目不喜欢看该节目合计
女生 5
男生 10
合计 50
（Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；
（Ⅱ）是否有99.5%的把握认为喜欢看该节目节目与性别有关？说明你的理由；
（Ⅲ）已知喜欢看该节目的10位男生中，5位喜欢看新闻，3位喜欢看动画片，2位喜欢看韩剧，现从喜欢看新闻、动画片和韩剧的男生中各选出1名进行其他方面的调查，求喜欢看动画片的男生甲和喜欢看韩剧的男生乙不全被选中的概率．
参考公式：K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d；
①当K²≥3.841时有95%的把握认为ξ、η有关联；
②当K²≥6.635时有99%的把握认为ξ、η有关联．

难度：中等

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6．为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查，得到如下2×2列联表，平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过50kg为肥胖．已知在这30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为
4
15
．
常喝不常喝合计
肥胖 2
不肥胖 18
合计 30
（1）请将上面的列联表补充完整．能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由．
（2）现从常喝碳酸饮料的学生中抽取3人参加电视节目，记ξ表示常喝碳酸饮料且肥胖的学生人数，求ξ的分布列及数学期望．
参考数据：
P（K²≥k₀） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k₀ 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

难度：中等

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7．（2015秋•珠海期末）“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．
（I）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关；说明你的理由；（下面的临界值表供参考）
P（K²≥k₀） 0.10 0.05 0.010 0.005
k₀ 2.706 3.841 6.635 7.879
（2）现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手，并从这6名选手中抽取2名幸运选手，求2名幸运选手中至少有一人在20～30岁之间的概率．
（参考公式：K²=
n(ad-bc)2
(a+b)(a+c)(c+d)(d+b)
．其中n=a+b+c+d）

难度：中等

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8．某校的一个社会实践调查小组，在对该校学生的良好“用眼习惯”的调查中，随机发放了120分问卷．对收回的100份有效问卷进行统计，得到如2×2下列联表：
做不到科学用眼能做到科学用眼合计
男 45 10 55
女 30 15 45
合计 75 25 100
（1）现按女生是否能做到科学用眼进行分层，从45份女生问卷中抽取了6份问卷，从这6份问卷中再随机抽取3份，并记其中能做到科学用眼的问卷的份数X，试求随机变量X的分布列和数学期望；
（2）若在犯错误的概率不超过P的前提下认为良好“用眼习惯”与性别有关，那么根据临界值表，最精确的P的值应为多少？请说明理由．
附：独立性检验统计量K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d．
独立性检验临界值表：
P（K²≥k₀） 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025
k₀ 1.323 2.072 2.706 3.840 5.024

难度：中等

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9． “中国式过马路”存在很大的交通安全隐患．某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取20名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：
男性女性合计
反感 8
不反感      4
合计           20
已知在这20人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是
1
2
．
附：K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（K²≥k） 0.05 0.01
k 3.841 6.635
（Ⅰ）请将上面的列联表补充完整（直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料分析反感“中国式过马路”与性别是否有关？
（Ⅱ）若从这20人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动，求至少有1人反感“中国式过马路”的概率．

难度：中等

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10．为了研究数学、物理学习成绩的关联性，某位老师从一次考试中随机抽取30名学生，将数学、物理成绩进行统计，所得数据如表，其中数学成绩在120分以上（含120分）为优秀，物理成绩在80分以上（含80分）为优秀．

编号	数学成绩x_i	物理成绩y_i	编号	数学成绩x_i	物理成绩y_i	编号	数学成绩x_i	物理成绩y_i
1	108	82	11	124	80	21	122	64
2	112	76	12	136	86	22	136	82
3	130	78	13	127	83	23	114	84
4	132	91	14	80	73	24	121	80
5	108	68	15	138	81	25	88	52
6	140	88	16	141	91	26	142	83
7	143	92	17	109	85	27	125	69
8	99	72	18	100	80	28	135	90
9	106	84	19	92	73	29	112	82
10	120	77	20	132	82	30	128	92

（1）根据表格完成下面2×2的列联表：

	数学成绩不优秀	数学成绩优秀	合计
物理成绩不优秀
物理成绩优秀
合计

（2）若这一次考试物理成绩y关于数学成绩x的回归方程为

，
由图中数据计算成

=120，

=80，

i=1

（x_i-

）（y_i-

）=2736，

i=1

（x_i-

）²=8480，若y关于x的回归方程，据此估计，数学成绩每提高10分，物理成绩约提高多少分？（精确到0.1）．
附1：独立性检验：K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（K²≥k）	0.15	0.10	0.050	0.010
k	2.072	2.706	3.841	6.635

附2：若（x₁，y₁），（x₂，y₂），…（x_n，y_n）为样本点，

为回归直线，
则

i=1

(xi-

)(yi-

)

i=1

(xi-

)

，

．

难度：中等

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0/40

进入组卷

品质季节	优质品数量	合格品数量
夏秋季生产	26	8
春冬季生产	12	4

P（K²≥k）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

消费金额	（0，200）	[200，400）	[400，600）	[600，800）	[800，1000]
人数	5	10	15	47	x

P（k²≥k₀）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
k₀	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

	喜欢看该节目	不喜欢看该节目	合计
女生		5
男生	10
合计			50

	做不到科学用眼	能做到科学用眼	合计
男	45	10	55
女	30	15	45
合计	75	25	100

	B₁	B₂
A₁	a	b
A₂	c	d

等级	喜欢	一般	不喜欢
频数	15	x	5

等级	喜欢	一般	不喜欢
频数	15	3	y

	男性	女性	总计
喜欢
非喜欢
总计