知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
$(1)$下列四个命题正确的是__________

$①$线性相关系数$r$越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱

$②$残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

$③$用相关指数${{R}^{2}}$来刻画回归效果，${{R}^{2}}$越小，说明模拟效果越好

$④$实数$a,b$满足${{(\dfrac{1}{2})}^{a}}={{(\dfrac{1}{3})}^{b}}$，则有$a=b$或$0 < b < a$

$(2)$某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区$5$户家庭，得到如下统计数据表：

收入$x/$万元

$8.2$

$8.6$

$10.0$

$11.3$

$11.9$

支出$y/$万元

$6.2$

$7.5$

$8.0$

$8.5$

$9.8$

可得回归直线方程$\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$，其中$\hat{b}=0.76$，据此估计，该社区一户年收入为$15$万元家庭的年支出为____．

$(3)$设直线$x=-\dfrac{{{a}^{2}}}{c}$ 与双曲线的两条渐近线交于$A$，$B$两点，左焦点在以$AB$为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为________．

$(4)$已知函数$f\left( x \right)=4{{{e}}^{x}}(x+1)-k\left( \dfrac{2}{3}{{x}^{3}}+2{{x}^{2}} \right)$，若$x=-2$是$f\left( x \right)$的唯一的极值点，则实数$k$的取值范围为______．

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2．
某保险公司有一款保险产品，根据经验，发现每份保单的保费在$20$ 元的基础上每增加$x$元，对应的销量$y($万份$)$与$x($元$)$有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如下$5$ 组$x$与$y$的对应数据并据此计算出的回归方程为$\hat{y}{=}10{.}0{-}\hat{b}x$．

$x($元$)$

$25$

$30$

$38$

$45$

$52$

销量$y($万份$)$

$7.5$

$7.1$

$6.0$

$5.6$

$4.8$

参考公式：$\hat {b}= \dfrac{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n \overset{¯}{x} \overset{¯}{y}}{ \sum\limits_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n \overset{¯}{x}{\;}^{2}},a= \overset{¯}{y}-\hat {b} \bar{x} $．

$(1)$求参数$\hat{b}$ 的值；

$(2)$若借助回归方程$\hat{y}{=}10{.}0{-}\hat{b}x$ 估计此产品的收益，每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大保费收入，并求出该最大保费收入．

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3．

随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长$.$设某地区城乡居民人民币储蓄存款$($年底余额$)$如下表：$y$关于$t$的回归方程$\widehat{y}=\widehat{b}{ }t+\widehat{a}$；这里已经用下面的公式算出$\widehat{b}=1.2$ ，则回归方程序中的$\widehat{a}=$________，用所求回归方程预测该地区$2015$年$\left( t=6 \right)$的人民币储蓄存款为________元．

年份	$2010$	$2011$	$2012$	$2013$	$2014$
时间代号 $t$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
储蓄存款 $y$ $($千亿元$)$	$5$	$6$	$7$	$8$	$10$

附：回归方程$\widehat{y}=\widehat{b}t+\widehat{a}$中$\begin{cases} & b=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}{\left( {{t}_{i}}-\overline{t} \right)\left( {{y}_{i}}-\overline{y} \right)}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\left( {{t}_{i}}-\overline{t} \right)}^{2}}}}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{t}_{i}}{{y}_{i}}-n\overline{t}\overline{y}}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{t_{_{i}}^{2}-n{{\overline{t}}^{2}}}} \\ & a=\overline{y}-b\overline{t} \end{cases}$

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4．
如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量$(x$吨$)$与相应的生产能耗$y($吨$)$标准煤的几组对照数据：

$x$

$3$

$4$

$5$

$6$

$y$

$2.5$

$3$

$4$

$4.5$

$(1)$请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程$\hat {y}=\hat {b}x+\hat {a} $；

$(2)$已知该厂技术改造前$100$吨甲产品能耗为$90$吨标准煤，试根据$(1)$求出的线性回归方程，预测生产$100$吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？

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5．

某种新产品投放市场一段时间后，经过调研获得了时间$x($天数$)$与销售单价$y($元$)$的一组数据，且做了一定的数据处理$($如表$)$，并作出了散点图$($如图$)$

$\overline{x}$	$\overline{y}$	$\overline{w}$	$\sum\limits_{i=1}^{10}{{{({{x}_{i}}-\overline{x})}^{2}}}$	$\sum\limits_{i=1}^{10}{{{({{w}_{i}}-\overline{w})}^{2}}}$	$\sum\limits_{i=1}^{10}{({{x}_{i}}-\overline{x})({{y}_{i}}-\overline{y})}$	$\sum\limits_{i=1}^{10}{({{w}_{i}}-\overline{w})({{y}_{i}}-\overline{y})}$
$1.72$	$91.50$	$0.83$	$5.30$	$0.85$	$-21.07$	$42.50$

表中${{w}_{i}}=\dfrac{1}{{{x}_{i}}}$，$\overline{w}=\dfrac{1}{10}\sum\limits_{i=1}^{10}{{{w}_{i}}}$．

$(1)$根据散点图判断，$\widehat{y}=\widehat{a}+\widehat{b}x$与$\widehat{y}=\widehat{c}+\dfrac{\widehat{d}}{x}$哪一个更适宜作价格$y$关于时间$x$的回归方程类型？$($不必说明理由$)$

$(2)$根据判断结果和表中数据，建立$y$关于$x$的回归方程；

$(3)$若该产品的日销售量$g(x)($件$)$与时间$x$的函数关系为$g(x)=-\dfrac{20}{x}+25(x\in {{N}^{*}})$，求该产品投放市场第几天的销售额最高？最高为多少元？$($结果保留整数$)$

附：对于一组数据$\left({u}_{1},{v}_{1}\right) $，$\left({u}_{2},{v}_{2}\right) $，$\left({u}_{3},{v}_{3}\right) $，$\cdots $，$\left({u}_{n},{v}_{n}\right) $，其回归直线$v=\widehat{\alpha }+\widehat{\beta }u$的斜率和截距的最小二乘估计分别为$\widehat{\beta }=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}{({{v}_{i}}-\overline{v})({{u}_{i}}-\overline{u})}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{u}_{i}}-\overline{u})}^{2}}}}$，$\widehat{\alpha }=\overline{v}-\widehat{\beta }\overline{u}$．

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6．

某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了$1$至$6$月份每月$10$号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料$;$该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取$2$组，用剩下的$4$组数据求线性回归方程，再用被选取的$2$组数据进行检验．

日期	$1$月$10$日	$2$月$10$日	$3$月$10$日	$4$月$10$日	$5$月$10$日	$6$月$10$日
昼夜温差$x(^{\circ}C)$	$10$	$11$	$13$	$12$	$8$	$6$
就诊人数$y($个$)$	$22$	$25$	$29$	$26$	$16$	$12$

$($Ⅰ$)$ 求选取的$2$组数据恰好是相邻两个月的概率；

$($Ⅱ$)$若选取的是$1$月与$6$月的两组数据，请根据$2$至$5$月份的数据，求出$y$关于$x$的线性回归方程$ \overset{∧}{y}=bx+a $；

$($Ⅲ$)$若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过$2$人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想$?$

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7．
某产品的广告费用支出$x$与销售额$y($单位：百万元$)$之间有如下的对应数据：

$x/$百万元

$2$

$4$

$5$

$6$

$8$

$y/$百万元

$30$

$40$

$60$

$50$

$70$

$(1)$求$y$与$x$之间的回归直线方程；$($参考数据：$2^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}+8^{2}=145$，$2×30+4×40+5×60+6×50+8×70=1380)$

$(2)$试预测广告费用支出为$1$千万元时，销售额是多少？

附：线性回归方程$y=bx+a$中，$b= \dfrac{ \sum\nolimits_{i=}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n \bar{x} \bar{y}}{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-n{ \bar{x}}^{2}} $，$a= \bar{y} -b \bar{x} $，其中$ \bar{x} $，$ \bar{y} $为样本平均值，线性回归方程也可写为$ \overset{\}{y} = \overset{\}{b} x+ \overset{\}{a} $．

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8．
在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在$S$市的$A$区开设分店$.$为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格$.$记$x$表示在各区开设分店的个数，$y$表示这$x$个分店的年收入之和．

$x$$($个$)$

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

$y$$($百万元$)$

$2.5$

$3$

$4$

$4.5$

$6$

$(1)$该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合 $y$与 $x$的关系，求 $y$关于 $x$的线性回归方程$\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$；
$(2)$假设该公司在$A$区获得的总年利润$z($单位：百万元$)$与 $x$， $y$之间的关系为$z=y-0.05{{x}^{2}}-1.4$，请结合$($Ⅰ$)$中的线性回归方程，估算该公司应在$A$区开设多少个分店时，才能使$A$区平均每个分店的年利润最大？
参考公式：$\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{y}=\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{b}x+\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{a}$，$\hat{b}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}{{y}_{i}}-n\bar{x}\bar{y}}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{x_{i}^{2}-n{{{\bar{x}}}^{2}}}}$，$\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}$

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9．
一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会有缺损$.$按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下：

转速$x$$($转$/$$s$$)$

$18$

$16$

$14$

$12$

每小时生产有缺损零件数$y$$($件$)$

$11$

$9$

$7$

$5$

$($Ⅰ$)$作出散点图；
$($Ⅱ$)$如果 $y$与 $x$线性相关，求出回归方程；
$($Ⅲ$)$如果实际生产中，允许每小时的产品中有缺损的零件最多为$8$个，那么机器运转速度应控制在什么范围内？
$\begin{cases} \overset{\}{b}= \dfrac{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}{x}^{i}{y}^{i}-n \bar{x}· \bar{y}}{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-n( \overset{¯}{x}{)}^{2}} \\ \overset{\}{a}= \bar{y}- \overset{\}{b} \bar{x}\end{cases} $

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10．
某种产品的广告费用支出$x($万元$)$与销售额$y($万元$)$之间有如下的对应数据：

$x$

$2$

$4$

$5$

$6$

$8$

$y$

$30$

$40$

$60$

$50$

$70$

$(1)$求回归直线方程；
$(2)$据此估计广告费用为$12$万元时的销售额约为多少？
参考公式：$=$，$=$$-$，$=$$x+$．

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收入\(x/\)万元	\(8.2\)	\(8.6\)	\(10.0\)	\(11.3\)	\(11.9\)
支出\(y/\)万元	\(6.2\)	\(7.5\)	\(8.0\)	\(8.5\)	\(9.8\)

\(x(\)元\()\)	\(25\)	\(30\)	\(38\)	\(45\)	\(52\)
销量\(y(\)万份\()\)	\(7.5\)	\(7.1\)	\(6.0\)	\(5.6\)	\(4.8\)

年份	\(2010\)	\(2011\)	\(2012\)	\(2013\)	\(2014\)
时间代号 \(t\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)
储蓄存款 \(y\) \((\)千亿元\()\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)	\(10\)

\(x\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)
\(y\)	\(2.5\)	\(3\)	\(4\)	\(4.5\)

\(\overline{x}\)	\(\overline{y}\)	\(\overline{w}\)	\(\sum\limits_{i=1}^{10}{{{({{x}_{i}}-\overline{x})}^{2}}}\)	\(\sum\limits_{i=1}^{10}{{{({{w}_{i}}-\overline{w})}^{2}}}\)	\(\sum\limits_{i=1}^{10}{({{x}_{i}}-\overline{x})({{y}_{i}}-\overline{y})}\)	\(\sum\limits_{i=1}^{10}{({{w}_{i}}-\overline{w})({{y}_{i}}-\overline{y})}\)
\(1.72\)	\(91.50\)	\(0.83\)	\(5.30\)	\(0.85\)	\(-21.07\)	\(42.50\)

日期	\(1\)月\(10\)日	\(2\)月\(10\)日	\(3\)月\(10\)日	\(4\)月\(10\)日	\(5\)月\(10\)日	\(6\)月\(10\)日
昼夜温差\(x(^{\circ}C)\)	\(10\)	\(11\)	\(13\)	\(12\)	\(8\)	\(6\)
就诊人数\(y(\)个\()\)	\(22\)	\(25\)	\(29\)	\(26\)	\(16\)	\(12\)

\(x/\)百万元	\(2\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(8\)
\(y/\)百万元	\(30\)	\(40\)	\(60\)	\(50\)	\(70\)

\(x\)\((\)个\()\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)
\(y\)\((\)百万元\()\)	\(2.5\)	\(3\)	\(4\)	\(4.5\)	\(6\)

转速\(x\)\((\)转\(/\)\(s\)\()\)	\(18\)	\(16\)	\(14\)	\(12\)
每小时生产有缺损零件数\(y\)\((\)件\()\)	\(11\)	\(9\)	\(7\)	\(5\)