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          共50条信息

            • 1． 已知有穷数列{an}共有m项（m≥3，m∈N*），对于每个i（i=1，2，3，…，m）均有ai∈{1，2，3}，且首项a1与末项am不相等，同时任意相邻两项不相等．记符合上述条件的所有数列{an}的个数为f（m）．
              （1）写出f（3），f（4）的值；
              （2）写出f（m）的表达式，并说明理由．
              难度：较难
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            • 2． 对于任意正整数n，定义“n!!”如下：
              当n是偶数时，n!!=n•（n-2）•（n-4）…•6•4•2，
              当n是奇数时，n!!=n•（n-2）•（n-4）…•5•3•1
              现在有如下四个命题：
              ①（2003！！）•（2002！！）=2003×2002×…×3×2×1；
              ②2002!!=21001×1001×1000×…×3×2×；
              ③2002!!的个位数是0；
              ④2003!!的个位数是5．
              其中正确的命题有（　　）
              A．1个
              B．2个
              C．3个
              D．4个
              难度：较难
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            • 3． 规定
              C
              m
              x
              =
              x(x-1)…(x-m+1)
              m!
              ，其中x∈R，m是正整数，且CX0=1．这是组合数Cnm（n，m是正整数，且m≤n）的一种推广．
              （1）求C-153的值；
              （2）组合数的两个性质：①Cnm=Cnn-m；②Cnm+Cnm-1=Cn+1m是否都能推广到Cxm（x∈R，m∈N*）的情形？若能推广，请写出推广的形式并给予证明；若不能请说明理由．
              （3）已知组合数Cnm是正整数，证明：当x∈Z，m是正整数时，Cxm∈Z．
              难度：较难
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            • 4． 已知fn（x）=（1+x）+2（1+x）2+…+n（1+x）n=an0+an1x+…+annxn，n∈N*，这些系数可形成如下数阵：
              （1）求出a31，a32的值；
              （2）若n=9，求a91+a95+a97+a99的值；
              （3）求数列{aij}（其中i，j∈N*，且1≤j≤i≤n）的和S．
              难度：较难
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            • 5． 定义：设有限集合A={x|x=ai，i≤n，i∈N+，n∈N+}，S=a1+a2+…+an-1+an，则S叫做集合A的模，记作|A|；若集合P={x|x=2n-1，n∈N+，n≤10}，集合P的含有三个元素的全体子集分别为P1，P2，…Pk，则|P1|+|P2|+…+|Pk|=    （用数字作答）．
              难度：较难
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            • 6． 已知1＜m＜n，m，n∈N*，求证：（1+m）n＞（1+n）m．
              难度：较难
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