知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
如图，在平面直角坐标系\(xOy\)中，焦点在\(x\)轴上的椭圆\(C:\dfrac{x^{2}}{8}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1\)经过点\((b,2e)(\)其中\(e\)为椭圆\(C\)的离心率\()\)，过点\(T(1,0)\)作斜率为\(k(k > 0)\)的直线\(l\)交椭圆\(C\)于\(A\)，\(B\)两点\((A\)在\(x\)轴下方\()\)．

\((1)\) 求椭圆\(C\)的标准方程\(;\)

\((2)\) 设过点\(O\)且平行于\(l\)的直线交椭圆\(C\)于点\(M\)，\(N\)，求\(\dfrac{{AT}\mathrm{{·}}{BT}}{MN^{2}}\)的值\(;\)

\((3)\) 记直线\(l\)与\(y\)轴的交点为\(P\)，若\(\overrightarrow{{AP}}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{{TB}}\)，求直线\(l\)的斜率\(k\)．

难度：较难

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2．

已知椭圆\(E\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的右焦点为\(F\)，短轴的一个端点为\(M\)，直线\(l\)：\(3x-4y=0\)交椭圆\(E\)于\(A\)，\(B\)两点，若\(|AF|+|BF|=4\)，点\(M\)到直线\(l\)的距离不小于\( \dfrac {4}{5}\)，则椭圆\(E\)的离心率的取值范围是\((\)　　\()\)

A．\((0, \dfrac { \sqrt {3}}{2}]\)

B．\((0, \dfrac {3}{4}]\)

C．\([ \dfrac { \sqrt {3}}{2},1)\)

D．\([ \dfrac {3}{4},1)\)

难度：较难

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3．

已知点\(F\)为椭圆\(E\)：\( \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线\( \dfrac{x}{4}+ \dfrac{y}{2}=1\)与椭圆\(E\)有且仅有一个交点\(M\)．

\((1)\)求椭圆\(E\)的方程；

\((2)\)设直线\( \dfrac{x}{4}+ \dfrac{y}{2}=1\)与\(y\)轴交于\(P\)，过点\(P\)的直线\(l\)与椭圆\(E\)交于不同的两点\(A\)，\(B\)，若\(λ|PM|^{2}=|PA|·|PB|\)，求实数\(λ\)的取值范围．

难度：较难

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4．

已知圆\(O\)的方程为\(x^{2}+y^{2}=9\)，若抛物线\(C\)过点\(A(-1,0)\)，\(B(1,0)\)，且以圆\(O\)的切线为准线，则抛物线\(C\)的焦点\(F\)的轨迹方程为 \((\)　　\()\)

A．\(\dfrac{x^{2}}{9}-\dfrac{y^{2}}{8}=1\left( x{\neq }0 \right)\)

B．\(\dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{8}=1\left( x{\neq }0 \right)\)

C．\(\dfrac{x^{2}}{9}-\dfrac{y^{2}}{8}=1\left( y{\neq }0 \right)\)

D．\(\dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{8}=1\left( y{\neq }0 \right)\)

难度：较难

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5．
在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知椭圆\(C: \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+ \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1\left(a > b > 0\right) \)的左、右焦点分别为\({{F}_{1}}(-1,0)\)、\({{F}_{2}}(1,0)\)，定点\(A(-2,0)\)，\(B(2,0)\)．

\((1)\) 若椭圆\(C\)上存在点\(T\)，使得\( \dfrac{TA}{TF_{1}}\)\(=\)\( \sqrt{2}\)，求椭圆\(C\)的离心率的取值范围；
\((2)\) 已知点\(\left(-1, \dfrac{ \sqrt{2}}{2}\right) \)在椭圆\(C\)上．

\(①\)求椭圆\(C\)的方程；

\(②\)记\(M\)为椭圆\(C\)上的动点，直线\(AM\)，\(BM\)分别与椭圆\(C\)交于另一点\(P\)，\(Q\)，若\(\overrightarrow{AM}=\lambda \overrightarrow{AP}\)，\(\overrightarrow{BM}=\mu \overrightarrow{BQ}.\)求\(λ+μ\)的值．

难度：较难

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6．
已知椭圆\(E\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > b > 0)\)的右焦点为\(F\)，短轴的一个端点为\(M\)，直线\(l\)：\(3x-4y=0\)交椭圆\(E\)于\(A\)，\(B\)两点\(.\)若\(AF+BF=4\)，点\(M\)到直线\(l\)的距离不小于\(\dfrac{4}{5}\)，则椭圆\(E\)的离心率的取值范围是________．

难度：较难

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7．

已知椭圆\({x}^{2}+2{y}^{2}={a}^{2}\left(a > 0\right) \)的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为\(4\)．

\((1)\)求椭圆\(C\)的方程；

\((2)\)已知直线\(y=k(x-1)\)与椭圆\(C\)交于\(A\)、\(B\)两点，试问，是否存在\(x\)轴上的点\(M(m,0)\)，使得对任意的\(k∈R \)，\( \overset{→}{MA}· \overset{→}{MB} \)为定值，若存在，求出\(M\)点的坐标，若不存在，说明理由．

难度：较难

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8．
已知 \(F\)\({\,\!}_{1}\)、 \(F\)\({\,\!}_{2}\)为椭圆 \(E\)的左、右焦点，点 \(P\)\(\left(\begin{matrix} \begin{matrix}1, \dfrac{3}{2} \end{matrix}\end{matrix}\right)\)为其上一点，且有\(|\) \(PF\)\({\,\!}_{1}|+|\) \(PF\)\({\,\!}_{2}|=4\)．
\((1)\)求椭圆\(C\)的标准方程；

\((2)\)过\(F\)\({\,\!}_{1}\)的直线\(l\)\({\,\!}_{1}\)与椭圆\(E\)交于\(A\)、\(B\)两点，过\(F\)\({\,\!}_{2}\)与\(l\)\({\,\!}_{1}\)平行的直线\(l\)\({\,\!}_{2}\)与椭圆\(E\)交于\(C\)、\(D\)两点，求四边形\(ABCD\)的面积\(S\)\({\,\!}_{四边形}\)\({\,\!}_{ABCD}\)的最大值．

难度：较难

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9．
如图，椭圆\(C\)：\( \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}} \) \(+ \dfrac{{x}^{2}}{{b}^{2}} \) \(=1(a > b > 0)\)，圆\(O\)：\(x^{2}+y^{2}=b^{2}\)，过椭圆\(C\)的上顶点\(A\)的直线\(l\)：\(y=kx+b\)分别交圆\(O\)、椭圆\(C\)于不同的两点\(P\)、\(Q\)，设\( \overrightarrow{AP} \) \(=λ \overrightarrow{PQ} \)．

\((1)\)若点\(P(-3,0)\)，点\(Q(-4,-1)\)，求椭圆\(C\)的方程；

\((2)\)若\(λ=3\)，求椭圆\(C\)的离心率\(e\)的取值范围．

难度：较难

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10．

已知\(A\)，\(F\)分别是椭圆\(C:\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > b > 0)\)的左顶点和右焦点，点\(P\)为椭圆\(C\)上一动点，当\(PF⊥x\)轴时，\(|AF|=2|PF|\)．

\((1)\)求椭圆\(C\)的离心率；

\((2)\)若椭圆\(C\)上存在点\(Q\)，使得四边形\(AOPQ\)是平行四边形\((\)点\(P\)在第一象限\()\)，求直线\(AP\)与\(OQ\)的斜率之积；

\((3)\)记圆\(O:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=\dfrac{ab}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\)为椭圆\(C\)的“关联圆”\(.\)若\(b=\sqrt{3}\)，过点\(P\)作椭圆\(C\)的“关联圆”的两条切线，切点为\(M\)，\(N\)，直线\(MN\)的横、纵截距分别为\(m\)，\(n\)，求证：\(\dfrac{3}{{{m}^{2}}}+\dfrac{4}{{{n}^{2}}}\)为定值．

难度：较难

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