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          共50条信息

            • 1． 设p＞0，抛物线方程为C：x2=2px．如图所示，过焦点F作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过点（0，-1）．
              （1）求满足条件的抛物线方程；
              （2）过点（0，-2）作抛物线C的切线，若切点在第二象限，求切线m的方程．
              难度：较难
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            • 2． 已知抛物线C1：y2=2px上一点M（3，y0）到其焦点F的距离为4；椭圆C2：
              y2
              a2
              +
              x2
              b2
              =1(a＞b＞0)              的离心率e=
              		2
              2
              ，且过抛物线的焦点F．
              （Ⅰ）求抛物线C1和椭圆C2的标准方程；
              （Ⅱ）过点F的直线l1交抛物线C1于A、B两不同点，交y轴于点N，已知
              NA
              =λ
              AF
              ，
              NB
              =μ
              BF
              ，求证：λ+μ为定值．
              （Ⅲ）直线l2交椭圆C2于P，Q两不同点，P，Q在x轴的射影分别为P′，Q′，
              OP
              •
              OQ
              +
              OP′
              •
              OQ′
              +1=0，若点S满足：
              OS
              =
              OP
              +
              OQ
              ，证明：点S在椭圆C2上．
              难度：较难
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            • 3． 已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上存在一点G到焦点的距离为3，且点G在圆C：x2+y2=9上．
              （Ⅰ）求抛物线C1的方程；
              （Ⅱ）已知椭圆C2：
              x2
              m2
              +
              y2
              n2
              =1（m＞n＞0）的一个焦点与抛物线C1的焦点重合，若椭圆C2上存在关于直线l：y=
              1
              4
              x+
              1
              3
              对称的两个不同的点，求椭圆C2的离心率e的取值范围．
              难度：较难
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            • 4． 已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点P（3，t）到其焦点的距离为4．
              （1）求p的值；
              （2）过点Q（1，0）作两条直线l1，l2与抛物线分别交于点A、B和C、D，点M，N分别是线段AB和CD的中点，设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，若k1+k2=3，求证：直线MN过定点．
              难度：较难
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            • 5． 设F为抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点，点F到直线l：x+y+2=0的距离为
              3
              2
              		2
              ．
              （1）求抛物线C的方程；
              （2）若Q为直线l上一动点，过点Q引抛物线的两条切线，切点分别为A，B，试探究直线AB是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
              难度：较难
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            • 6． 已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点F是双曲线：
              3x2
              5
              -
              3y2
              7
              =1的一个焦点；
              （1）求抛物线C的方程；
              （2）过点F任作直线l与曲线C交于A，B两点．
              ①求
              OA
              •
              OB
              的值；②由点A，B分别向（x-2）2+y2=1各引一条切线切点分别为P、Q，记α=∠AFP，β=∠BFQ，求cosα+cosβ的值．
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            • 7． 已知曲线C：x2=-2py（p＞0），点M是曲线C上的一个动点，过点M且与曲线C相切的直线l的方程为x+y-1=0．
              （Ⅰ）求曲线C的方程；
              （Ⅱ）点A、B是曲线C上的两点，O为原点，直线AB与x轴交于点P（2，0），记OA、OB的斜率为k1、k2，试探求k1、k2的关系，并证明你的结论．
              难度：较难
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            • 8． 已知抛物线C：y=x2，过点M（1，1）作两条相互垂直的直线，与抛物线的另两个交点分别为A，B
              （Ⅰ）求抛物线C的准线方程；
              （Ⅱ）直线AB是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
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            • 9． 已知点B（0，1），点C（0，-3），直线PB、PC都是圆（x-1）2+y2=1的切线（P点不在y轴上）．
              （Ⅰ）求过点P且焦点在x轴上抛物线的标准方程；
              （Ⅱ）过点（1，0）作直线l与（Ⅰ）中的抛物线相交于M、N两点，问是否存在定点R，使
              RM
              •
              RN
              为常数？若存在，求出点R的坐标与常数；若不存在，请说明理由．
              难度：较难
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            • 10． 已知抛物线C的顶点是椭圆
              x2
              4
              +
              y2
              3
              =1的中心，其焦点与该椭圆的右焦点重合．
              （1）求抛物线C的方程；
              （2）过抛物线C的焦点F的直线与抛物线交于M、N两点，自M、N点向准线l作垂线，垂足分别为M1、N1，记△FBM1，△FM1N1，△FNN1的面积分别为S1、S2、S3是否存在实数λ，使得对任意过焦点的直线，都有S22=λS1S3成立，若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．
              难度：较难
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