知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线过点P（2，1）．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过点P作直线l与抛物线有且只有一个公共点，求直线l的方程．

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3． AB是抛物线y=x²的一条弦，若AB的中点到x轴的距离为1，则弦AB的长度的最大值为．

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4．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点为F（0，1），
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点F作直线l交抛物线于A，B两点，若直线AO，BO分别与直线y=x-2交于M，N两点，求|MN|的取值范围．

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5．（2015秋•如皋市期中）已知点F是抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点，点A（m，2）在抛物线C上，且AF=2
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知点G（-1，0），过点F的直线交抛物线于M、N两点，求证：∠MGF=∠NGF．

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6．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的离心率为
1
2
，直线y=x+1被以椭圆的短轴为直径的圆截得弦长为
10
，抛物线D以原点为顶点，椭圆的右焦点为焦点．
（Ⅰ）求椭圆C与抛物线D的方程；
（Ⅱ）已知A，B是椭圆C上两个不同点，且OA⊥OB，判定原点O到直线AB的距离是否为定值，若为定值求出定值，否则，说明理由．

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7．如图，已知圆O：x²+y²=a²（a＞0）过抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F，过点F且与圆O相切的直线被抛物线C截得的弦长为4
（1）求圆O和抛物线C的标准方程；
（2）若P为抛物线C在第一象限内的点，抛物线在点P处的切线y=kx+b（设为l₁）被圆O截得的弦长为
95
5
，直线l₂过点P且垂直直线l₁，设l₂与抛物线的另一交点为M，求弦PM的长．

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8．如图，设F为抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，P是抛物线上一定点，其坐为（x₀，y₀）（x₀≠0），Q为线段OF的垂直平分线上一点，且点Q到抛物线的准线l的距离为
3
2
．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点P任作两条斜率均存在的直线PA、PB，分别与抛物线交于点A、B，如图示，若直线AB的斜率为定值-
2
y0
，求证：直线PA、PB的倾斜角互补．

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9．已知点M是抛物线C₁：y²=2px（p＞0）的准线与x轴的交点，点P是抛物线C₁上的动点，点A、B在y轴上，△APB的内切圆为圆C₂，（x一1）²+y²=1，且|MC₂|=3|OM|为坐标原点．
（I）求抛物线C₁的标准方程；
（Ⅱ）求△APB面积的最小值．

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10．已知抛物线C₁：y²=2px（p＞0）与直线x-y+1=0相切，椭圆C₂：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线C₁的焦点F重合，且离心率为
2
2
，点M（a²，0）．
（1）求抛物线C₁与椭圆C₂的方程；
（2）若在椭圆C₂上存在两点A，B使得
FA
=λ
FB
（λ∈[-2，-1]），求|
MA
+
MB
|的最小值．

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