知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的离心率为
1
2
，直线y=x+1被以椭圆的短轴为直径的圆截得弦长为
10
，抛物线D以原点为顶点，椭圆的右焦点为焦点．
（Ⅰ）求椭圆C与抛物线D的方程；
（Ⅱ）已知A，B是椭圆C上两个不同点，且OA⊥OB，判定原点O到直线AB的距离是否为定值，若为定值求出定值，否则，说明理由．

难度：较难

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2．已知抛物线C₁：y²=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上存在一点G到焦点的距离为3，且点G在圆C：x²+y²=9上．
（Ⅰ）求抛物线C₁的方程；
（Ⅱ）已知椭圆C₂：
x2
m2
+
y2
n2
=1（m＞n＞0）的一个焦点与抛物线C₁的焦点重合，若椭圆C₂上存在关于直线l：y=
1
4
x+
1
3
对称的两个不同的点，求椭圆C₂的离心率e的取值范围．

难度：较难

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3．设F为抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点，点F到直线l：x+y+2=0的距离为
3
2
2
．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若Q为直线l上一动点，过点Q引抛物线的两条切线，切点分别为A，B，试探究直线AB是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．

难度：较难

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4．抛物线C：x²=4y，直线l₁：y=kx交C于点A，交准线于点M．过点M的直线l₂与抛物线C有唯一的公共点B（A，B在对称轴的两侧），且与x轴交于点N．
（Ⅰ）求抛物线C的准线方程；
（Ⅱ）求S_△AOB：S_△MON的取值范围．

难度：较难

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5．过点F（1，0）且与直线l：x=-1相切的动圆圆心的轨迹方程是．

难度：较难

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6．与圆x²+y²-4y=0外切，又与x轴相切的圆的圆心轨迹方程是（　　）

A．y²=8x

B．y²=8x （x＞0）和 y=0

C．x²=8y （y＞0）

D．x²=8y （y＞0）和 x=0 （y＜0）

难度：较难

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7．已知点B（0，1），点C（0，-3），直线PB、PC都是圆（x-1）²+y²=1的切线（P点不在y轴上）．
（Ⅰ）求过点P且焦点在x轴上抛物线的标准方程；
（Ⅱ）过点（1，0）作直线l与（Ⅰ）中的抛物线相交于M、N两点，问是否存在定点R，使
RM
•
RN
为常数？若存在，求出点R的坐标与常数；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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8．已知抛物线C的顶点是椭圆
x2
4
+
y2
3
=1的中心，其焦点与该椭圆的右焦点重合．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过抛物线C的焦点F的直线与抛物线交于M、N两点，自M、N点向准线l作垂线，垂足分别为M₁、N₁，记△FBM₁，△FM₁N₁，△FNN₁的面积分别为S₁、S₂、S₃是否存在实数λ，使得对任意过焦点的直线，都有S₂²=λS₁S₃成立，若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．

难度：较难

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9．已知点M是抛物线C₁：y²=2px（p＞0）的准线与x轴的交点，点P是抛物线C₁上的动点，点A、B在y轴上，△APB的内切圆为圆C₂，（x一1）²+y²=1，且|MC₂|=3|OM|为坐标原点．
（I）求抛物线C₁的标准方程；
（Ⅱ）求△APB面积的最小值．

难度：较难

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10．已知抛物线C₁：y²=2px（p＞0）与直线x-y+1=0相切，椭圆C₂：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线C₁的焦点F重合，且离心率为
2
2
，点M（a²，0）．
（1）求抛物线C₁与椭圆C₂的方程；
（2）若在椭圆C₂上存在两点A，B使得
FA
=λ
FB
（λ∈[-2，-1]），求|
MA
+
MB
|的最小值．

难度：较难

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